жук бежит по обручу

[sng1]

На гладком горизонтальном столе лежит обруч массы $M$ и радиуса $R$. На нем находится жук массы $m$. Жук начинает бежать по обручу без проскальзывания. Может ли жук быть неподвижным в системе координат стола?

Ясно, что центр масс системы неподвижен, и расстояние от центра масс до центра обруча не меняется, поэтому жук и обруч движутся в системе координат стола по окружностям радиусов $r_1=MR/(m+M)$ и $r_0=mR/(m+M)$ относительно центра масс системы. Но как определить скорость движения по окружности? В частности, может ли она быть нулевой? Если да, то при каких условиях?

[12d3]

sng1 в сообщении #1156873 писал(а):

Может ли жук быть неподвижным в системе координат стола?

Используйте закон сохранения момента импульса.

[sng1]

Угловая скорость жука $-\omega_0$ в с.к. стола противоположна угл. скорости ц.м. обруча в с.к. стола $\omega_0$, и из закона сохранения момента импульса получается, что $Mr_0^2\omega_0-mr^2_1\omega_0+I_0\omega_2=0$, где $I_0=MR^2$ - момент инерции обруча относительно ц.м. обруча, $\omega_2$ - угл. скорость вращ. обруча относит. центра масс обруча.
Правильно?

[Umka2000]

Достаточно приравнять центробежные силы и получаем, что $m=M$, и жук останется на месте

[12d3]

sng1 в сообщении #1156909 писал(а):

Или я не учел еще вращение обруча относительно центра масс обруча?

Не учли.
Но тут можно совсем без формул обойтись, достаточно рассмотреть момент импульса только в интересующем нас случае - жук покоится относительно стола.

[sng1]

$Mr_0^2\omega_0-mr^2_1\omega_0+MR^2\omega_2=0$. Если $\omega_0=0$, то $\omega_2=0$, и отсюда скорость жука относительно обруча $V=0$.
Т.е. ответ, если $V \ne 0$, то $\omega_0 \ne 0$.
Правильно?

[12d3]

sng1 в сообщении #1156909 писал(а):

Угловая скорость жука $-\omega_0$ в с.к. стола противоположна угл. скорости ц.м. обруча в с.к. стола $\omega_0$

Угловая скорость жука относительно центра масс системы равна угловой скорости центра обруча относительно того же центра масс системы. Так что проверяйте знаки в ЗСМИ.

[sng1]

Угловая скорость жука $\omega_0$ в с.к. стола равна угл. скорости ц.м. обруча в с.к. стола, и из закона сохранения момента импульса получается, что $Mr_0^2\omega_0+mr^2_1\omega_0+MR^2\omega_2=0$, где $MR^2$ - момент инерции обруча относительно ц.м. обруча, $\omega_2$ - угл. скорость вращ. обруча относит. центра масс обруча.
Если $\omega_0=0$, то $\omega_2=0$, и отсюда скорость жука относительно обруча $V=0$.
Т.е. ответ, если $V \ne 0$, то $\omega_0 \ne 0$.

Вроде теперь должно быть правильно?
А как без формул, т.е. сразу $MR^2\omega_2=0$ рассмотреть, или иначе?

[12d3]

sng1 в сообщении #1156943 писал(а):

Вроде теперь должно быть правильно?

Теперь правильно.

sng1 в сообщении #1156943 писал(а):

А как без формул, т.е. сразу $MR^2\omega_2=0$ рассмотреть, или иначе?

Если жук покоится относительно стола, то и центр обруча покоится. Момент импульса жука нулевой, следовательно, из ЗСМИ момент импульса обруча тоже нулевой, т.е. обруч не вращается относительно стола, значит, жук по обручу не бежит.

[sng1]

Спасибо, вроде бы разобрался.

Уточню на всяк. случай, $|V|=|r_1\omega_2|$, тут я не ошибаюсь?

[sng1]

Посчитал более аккуратно: $\omega_2=-m\omega_0/(M+m)$; $ V=(\omega_0-\omega_2)R=R\omega_0(2m+M)/(m+M)$.

Если обруч невесом, то жук остается на месте в с.к. стола.

[ugarovIvan]

Прошу прощения, я только начал изучение ЗСМИ и наверное где-то ошибаюсь, но мне думается что в этой задаче не три движения:

1) жука вокруг ЦМ
2) центра обруча $O$ вокруг ЦМ
3) самого обруча вокрук точки $O$

но ведь есть ещё и четвёртое движение - жука вокруг центра обруча $O$, ведь обруч вращается вокруг своего центра $O$ не сам по себе - его вращает, в обратную сторону, бегущий по ней жук. Значит уравнение ЗСМИ должно иметь ещё и четвёртый член:

$Mr_0^2\omega_0+mr^2_1\omega_0+MR^2\omega_2 -mR^2\omega_1=0$

где $\omega_1$ это постоянная угловая скорость жука относительно центра обруча. И, наверное, если я правильно понял что $\omega_0$ это постоянная угловая скорость жука относительно лабараторной системы координат - стола, угловые скорости связаны так:

$\omega_0 = \omega_1 - \omega_2$

Подскажите пожалуйста где я заблуждаюсь. Заранее спасибо.

[sng1]

Плоское движение твердого тела можно представить как сумму движений: каждой точки тела со скоростью некоторой точки тела и вращение тела вокруг этой точки (можно посмотреть про это например в 1 томе общей физики, Ландау и др.; либо в ином учебнике по механике). Для обруча мы выбрали точку - ц.м. обруча. Для жука - ц.м. жука. Моментом инерции жука пренебрегли, но можно попробовать решить и с учетом момента инерции жука.