Произведение, кратное любому множителю, увеличенному на 2016

[Ktina]

Существуют ли натуральные числа $a, b, c,\quad$ большие миллиарда, такие, что их произведение делится
на любое из них, увеличенное на 2016?

Увы, у меня не хватило мозгов мне не удалось придумать попарно различные числа, удовлетворяющие условию задачи.
Получились лишь три одинаковых числа, равных $2016\cdot(2016^2-1)$

В задаче, алямаябду по всей видимости, подразумевалось требование найти такие попарно различные числа.
Пожалуйста, помогите решить.
Заранее благодарю!

[gris]

$n(6n^2-3)\cdot n(6n^2-2)\cdot n(6n^2-1)$ делится на
$n(6n^2-2); n(6n^2-1); n(6n^2)$
Рассуждения довольно просты. Можно сразу обобщить условия. Пусть $2016=n$, а количество сомножителей $k$.
Решения поищем в виде $mn;(m+1)n;(m+2)n...(m+k-1)n.$ При этом после увеличения каждого сомножителя на $n$, он просто превращается в следующий по порядку. Кроме последнего. Поэтому произведение всех чисел делится на первые $k-1$ увеличенных числа. И осталось проверить последнее.
$n^km(m+1)...(m+k-1)$ должно делиться на $(m+k)n$. Одно $n$ сокращается. А далее организуем притяжение за уши. Пусть $m+k=in^{k-1}$. То есть наши числа будут:
$(in^{k-1}-k)n;...(in^{k-1}-1)n$, и надо проверить делимость произведения на $in^k$. Ну так $n^k$ сокращается. В произведении остаются $k$ последовательных чисел. Поэтому полагаем $i=k!$. Увы, дальнейшее увеличение числа $i$ при кратности его $k!$ невозможно. Там будет всегда плюс-минус единичка в остатке.
Итак, решение: $n(k!n^{k-1}-k);...n(k!n^{k-1}-1)n$.
Для $n=2016;k=3$ имеем $2016(6\cdot 2016^2-3);2016(6\cdot 2016^2-2);2016(6\cdot 2016^2-1)$, то есть

$49161234528,49161236544,49161238560$

Произведение, надеюсь, делится на $49161236544,49161238560$ и $49161240576$. Но это надо просить Yadryara проверить . Числа, хотя и не очень большие, но большие миллиарда, как заказывали.
Я просто не увидел другого способа, который даёт большие числа или доказывает бесконечное множество решений.

[Yadryara]

gris в сообщении #1175762 писал(а):

А далее организуем притяжение за уши. Пусть $m+k=in^{k-1}$

Чего уж там. Притягивать, так притягивать Давайте попросту возьмём $m+k=n^{k-1}$ и тоже получим числа больше миллиарда: $8193534048;8193536064;8193538080$.

Их произведение разделится на $2016^3 = 8193540096$.

-- 11.12.2016, 08:19 --

Ежели хотим ещё ближе к миллиарду, берём за основу $\frac{2016^3}8=1024192512$. Тогда наши числа

$1024186464;1024188480;1024190496$

[gris]

Yadryara, ну вы же знаете ТС. Сначала больше миллиарда подавай, потом попардоксюллиона, а там и вообще ограничения падут. Мне лично нравится решение $96;2112;4128$. (поправил. ну никак мне не удаётся устный счёт ) А есть ли что-нибудь поменьше?

[Yadryara]

gris в сообщении #1175869 писал(а):

Мне лично нравится решение $96;2107;4123$.

Только немного не так: $96;2112;4128$

[gris]

(Оффтоп)

Yadryara, Вы меня выручаете постоянно!
Вот только надо уже оставить в покое уходящий год. Долго его трепали. Ну конечно, там такие удобные делители. А вот с наступающим всё сложнее. Маленьких решений вроде бы и нет
Создал бы кто тему насчёт

$2-0-1^7=1$

$2+0\times17=2$

$20-17=3$

$-2-0-1+7=4$

[Ktina]

gris
Yadryara
Большое спасибо!