Сходимость ряда

[4caster]

Здравствуйте. Есть один ряд:

$\sum\limits_{1}^{\infty}(-1)^n \cdot (1-\cos(\frac{1}{n^{2/3}}))$

Нужно исследовать его на абсолютную сходимость.

Сперва по признаку Лейбница я доказал, что ряд в принципе сходится. Но теперь нужно определить, сходится ли он абсолютно или условно. Подвел в модуль, стал пытаться решать. Признак Даламбера дает единицу, радикальный признак Коши дает единицу, интегральный решил только с помощью вольфрама, и он выдает такой сложный ответ, что становится понятно, что есть куда более простой способ решения. Какой признак применить в этом случае? Если признак сравнения, то с чем сравнивать? Если предельный признак сравнения, то какой ряд взять за второй?

[Pphantom]

Почему бы не разложить косинус в ряд и не взять в качестве мажоранты его кусочек (очевидно какой)?

[whitefox]

Формулой Тейлора для $\cos x$ не пытались воспользоваться?

[VPro]

$1-\cos 2x=?$

[4caster]

Pphantom в сообщении #1175676 писал(а):

Почему бы не разложить косинус в ряд и не взять в качестве мажоранты его кусочек (очевидно какой)?

Нет, не особо очевидно.

VPro в сообщении #1175681 писал(а):

$1-\cos 2x=?$

$2 \cdot \sin^2 (x) $, не понимаю ,как это может помочь?

[VPro]

Признак сравнения рядов. С каким рядом можно сравнить ряд из синусов?

[4caster]

VPro в сообщении #1175688 писал(а):

Признак сравнения рядов. С каким рядом можно сравнить ряд из синусов?

В данном случае, с рядом из аргумента синуса?)

[Pphantom]

4caster в сообщении #1175687 писал(а):

Нет, не особо очевидно.

Раскладываем по степеням $n^{-2/3}$. В итоге разложение (с учетом его вычитания из единицы) само будет представлять собой знакопеременный ряд. Что будет с ним, если Вы отбросите все члены, начиная с некоторого отрицательного?

[Brukvalub]

Pphantom в сообщении #1175697 писал(а):

Раскладываем по степеням $n^{-2/3}$. В итоге разложение (с учетом его вычитания из единицы) само будет представлять собой знакопеременный ряд.

Ну, это из пушки по воробьям. Достаточно воспользоваться эквивалентностью членов ряда с фиксированной степенью номера члена.

[4caster]

Всем участником огромное спасибо. В итоге воспользовался советом Vpro , нашел, чему эквивалентен синус в данном случае, применил второй признак сравнения. Ряд сходится

[Pphantom]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1175704 писал(а):

Ну, это из пушки по воробьям. Достаточно воспользоваться эквивалентностью членов ряда с фиксированной степенью номера члена.

Нет, это скорее попытка предложить идею, не рассказав случайно полное решение задачи.

[Brukvalub]

4caster в сообщении #1175705 писал(а):

Ряд сходится

Абсолютно.