Равное количество цифр

[Ktina]

Даны натуральные $m$ и $n$. Докажите, что существует натуральное $c$ такое, что
каждая ненулевая цифра входит в десятичные записи $c\cdot m$ и $c\cdot n$ одно и то же
число раз.

[worm2]

Возьмём такое простое число $p$, чтобы длина периода дроби $1/p = 0.(X)$ превышала и $m$, и $n$. $X$ и подойдёт в качестве искомого $c$.

[Ktina]

worm2
Ваше $X$ почти всегда будет начинаться с нескольких нулей...

[worm2]

Не вижу в этом проблемы. Ведь мы при подсчёте нулями не интересуемся.

А вот про то, что период дроби обязан равняться $p-1$, я не упомянул. Но конечность или бесконечность множества таких простых чисел — открытая проблема. Получается, что я в своём решении опираюсь на недоказанную гипотезу.

[Ktina]

worm2 в сообщении #1175622 писал(а):

... Получается, что я в своём решении опираюсь на недоказанную гипотезу.

А вот это уже странновато, поскольку задача -- школьная (№8):
http://www.mathschool.ru/storage/SCCont ... D0%B5_.pdf

[Aritaborian]

(Ktina)

На кой чёрт между буквами \cdot вставлять? У вас в Палестине так принято? Глаза режет.

[worm2]

Цитата:

задача -- школьная

Что ж Вы сразу не сказали? Сразу легче стало решать Хотя для устной олимпиады, по-моему, всё равно сложновато.

Подберём такое натуральное $k$, чтобы число $10^kn-m$ было положительным, и у него был делитель, взаимно простой с 10 и больший $\max(m,n)$. Обозначим его через $q$: $10^kn-m=Nq$, где $N$ — натуральное.
Дроби $m/q$ и $n/q$ — правильные, и знаменатель у них не делится ни на 2, ни на 5. Обе эти дроби будут иметь вид $0.(?)$, то есть не будут иметь предпериода. Не знаю, что это за теорема, но доказывается легко, домножением числителя и знаменателя на какое-то число, чтобы знаменатель стал равным $10^{\text{что-то}}-1$. Далее:

$$\frac m q = \frac n q 10^k - N.$$

Это означает, что период дроби $m/q$ является циклической перестановкой периода дроби $n/q$. С другой стороны, эти периоды (рассматриваемые как целые числа) есть произведения $m$ и $n$ соответственно на период дроби $1/q$ (также рассматриваемый как целое число $c$: $1/q=0.(c)$). Это и есть то $c$, про которое утверждается в задаче.

[Ktina]

worm2
Большое спасибо!

-- 10.12.2016, 15:36 --

Aritaborian в сообщении #1175637 писал(а):

(Ktina)

На кой чёрт между буквами \cdot вставлять? У вас в Палестине так принято? Глаза режет.

Вы по ссылке, данной мной, перейдите, там тоже так написано, через точку.

[Aritaborian]

Ktina в сообщении #1175693 писал(а):

там тоже так написано, через точку.

И что с того.