Интеграл ТФКП

[kvendingoldo]

Здравствуйте. Есть следующий интеграл:

$ \int\limits_{\partial D} \frac{z^2dz}{e^{i\cdot\pi\cdot z^3}-1} ( D: |Z|< \sqrt[3]{\frac{7}{2}} )$

Первый делом сделал замену: $z^3=t$ благодаря чему перешел к такому интегралу:

$\frac{1}{3}\int\limits_{\partial D} \frac{dt}{e^{i\cdot\pi\cdot t}-1} ( D: |t|< \frac{7}{2} )$

После этого решил уравнение $e^{i\cdot\pi\cdot t}-1=0$, откуда получил $t=2n, n \in \mathbb{Z}$.

Вроде бы в мою область(круг) попадает только значение $t=0, t=2$.

Далее, ощущение подсказывает, что нужно копать в сторону теоремы Коши, но я пока не вижу как.

Одна из идей заключалась в разложении знаменателя в ряд( чтобы получилось что-то вроде $\frac{1}{\pi\cdot i}\int\limits_{\partial D} \frac{dt}{t+\frac{t^2}{2}\cdot(\pi\cdot i)+(\pi\cdot i)^2\cdot\frac{t^3}{3!}+\cdots}$ ) и уже после этого применение теоремы Коши.

Подскажите, в какую сторону копать, чтобы взять данный интеграл?

[Otta]

Не надо делать замену.

А потом - да. Интегральная теорема Коши, вычеты, что хотите.

[kvendingoldo]

Otta в сообщении #1175565 писал(а):

Не надо делать замену.

А потом - да. Интегральная теорема Коши, вычеты, что хотите.

А как я могу, без замены, использовать теорему коши?

Допустим, что функция $f(z)=\frac{z^2}{e^{i \cdot \pi \cdot z^3}-1}$ аналитична во всей области $ \partial D$. Исходя из этого для любого $ z_0 \in D$ справедливо: $f(z_0)=\frac{1}{2\cdot\pi\cdot i}\int\limits_{L}\frac{f(z)dz}{z-z_0}$, где $L$ это граница $\partial D$. А что дальше? В какую сторону(исключая вычеты) копать?

[Otta]

kvendingoldo в сообщении #1175574 писал(а):

Допустим, что функция $f(z)=\frac{z^2}{e^{i \cdot \pi \cdot z^3}-1}$ аналитична во всей области $ \partial D$

Так допустим, или аналитична?

kvendingoldo в сообщении #1175574 писал(а):

В какую сторону(исключая вычеты) копать?

Не надо исключать.

Но вообще, скажу Вам по секрету, для людей маленечко опытных интеграл устный. А для начала полезно решить хоть как-то.

[ewert]

kvendingoldo в сообщении #1175574 писал(а):

аналитична во всей области $ \partial D$.

На всякий случай: и ещё, это -- не область. А полюсА надо искать, конечно, без этого никак. Искать -- и потом отбраковывать.