Сферический конденсатор с проводимостью

[vovamas]

Есть сферический конденсатор, обкладки на расстояниях $R_1$ и $R_2$, проводимость между обкладками обратно пропорциональна расстоянию до центра. Разность потенциала на обкладках при токе $I$ равна $U$. Найти распределение потенциала между обкладками. Мои идеи такие:
плотность тока $j= \sigma E$, закон сохранения заряда $\frac{dq}{dt}+\operatorname{div}j=0$. Так как процесс статичный, то получается $\operatorname{div}j=0$. Подставляем выражение для плотности тока в дивергенцию(координаты сферические, компонента плотности тока и напряженности только $r$), интегрируем первый раз. Получаем $r^2\frac{d(\sigma(r)E(r))}{dr}= \operatorname{const}$. Раскрываем производную произведения, зная зависимость $\sigma(r)=\frac{k}{r}$, где $k$-коэффициент пропорциональности, получаем диффур. Решаем, получаем зависимость $E(r)$ с двумя константами:$E(r)=C_1+C_2e^{-r}$ При интегрировании $E(r)$, чтобы получить потенциал, получаем еще одну константу:$\varphi(r)=C_1r+C^2e^{-r}+C_3$ Начальных условий на потенциал 2, откуда 3ю константу брать? Видно, что где-то в рассуждениях или матане ошибка. Вопрос, что нет так? Правильный ответ должен быть: $\varphi(r)=U\frac{\ln(\frac{r}{R_1})}{\ln(\frac{R_2}{R_1})}$

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- изложите решение полностью, оценивать "странную форму ответа", не имея возможности посмотреть на эту форму, довольно странно;
- нижние индексы набираются с помощью подчеркивания, воспользуйтесь этим.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[DimaM]

vovamas в сообщении #1175415 писал(а):

Вопрос, что нет так?

Дивергенция записана неправильно - это раз.
Дивергенция должна быть равна нулю (а не просто константе), потому что рассматривается стационарный случай - это два.

[vovamas]

DimaM в сообщении #1175460 писал(а):

vovamas в сообщении #1175415 писал(а):

Вопрос, что нет так?

Дивергенция записана неправильно - это раз.
Дивергенция должна быть равна нулю (а не просто константе), потому что рассматривается стационарный случай - это два.

Тьфу, действительно. У меня в дивергенции была вторая производная откуда-то(с лапласом перепутал явно). Отсюда и такая несуразица. Теперь решил, ответ получился.