Доказательство равенства.

[SNet]

Здравствуйте! Имеется задание вида "Доказать равенство $\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}} + \sqrt[3]{9 - \sqrt{80}} = 3$". Я решил пойти не совсем стандартно:

Пусть $f\equiv\sqrt[3]{9 + \sqrt{80}}$ и $g\equiv\sqrt[3]{9 - \sqrt{80}}$. Тогда равенство будет иметь место быть, если система

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f + g = 3, \\ f^3+g^3 = 18 \\ \end{array} \right.$$

будет иметь решения. Преобразуем её к следующему виду

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f + g = 3, \\ (f + g)^3 - 3fg(f + g) = 18 \\ \end{array} \right.$$

Пусть $f + g\equiv z$, $fg\equiv r$.
В итоге:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} z = 3, \\ z^3 - 3zr= 18 \\ \end{array} \right.$$

Решая соответствующее уравнение, приходим к системе

$$\left\{ \begin{array}{rcl} z = 3,\\ r= 1 \\ \end{array} \right.$$

И тогда

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f + g = 3, \\ fg = 1 \\ \end{array} \right.$$

И окончательно:

$$ \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{array}{rcl} f = \frac{3 + \sqrt{5}}{2},\\ g= \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array}{rcl} f = \frac{3 - \sqrt{5}}{2},\\ g= \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ \end{array} \right.$$ \end{matrix} \right.

Здесь наличие совокупности отражает коммутативность сложения, но не суть. Система имеет решения. ЧТД.

Правилен ли такой подход?

[Brukvalub]

Поясните подробнее вот это:

SNet в сообщении #1175161 писал(а):

равенство будет иметь место быть, если система

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f + g = 3, \\ f^3+g^3 = 18 \\ \end{array} \right.$$

будет иметь решения.

Как наличие решений системы связано с правильностью равенства?

[SNet]

Brukvalub в сообщении #1175165 писал(а):

Как наличие решений системы связано с правильностью равенства?

Решение системы -- последовательность чисел, которая является решением каждого уравнения системы. Собственно, равенство отражено в первом уравнении, а второе просто определяет конкретные числа и позволяет упростить решение введением элементарных симметрических многочленов.

[Xaositect]

Я вижу, что из равенства следует существование решений, но вот в обратную сторону - не вижу. Из существования решений можно доказать только то, что существует $c$ такое, что $\sqrt[3]{9-c} + \sqrt[3]{9 - c}$, почему $c = \sqrt{80}$?

[Brukvalub]

SNet в сообщении #1175166 писал(а):

Решение системы -- последовательность чисел, которая является решением каждого уравнения системы. Собственно, равенство отражено в первом уравнении,

Но первое уравнение имеет, например, решение $2+1=3$, как это решение связано с исходным равенством?

[SNet]

Xaositect в сообщении #1175169 писал(а):

Из существования решений можно доказать только то, что существует $c$ такое, что $\sqrt[3]{9-c} + \sqrt[3]{9 - c}$, почему $c = \sqrt{80}$?

Вы, наверное, имели ввиду плюс в первом слагаемом.
Мы же когда решили систему, получили конкретные значения для каждого из слагаемых нашего равенства $f + g = 3$. Именно при $c = \sqrt{80}$ слагаемые будут совпадать с решениями системы.

-- 08.12.2016, 16:59 --

Brukvalub в сообщении #1175171 писал(а):

Но первое уравнение имеет, например, решение $2+1=3$, как это решение связано с исходным равенством?

Так у нас система. Пара $(2, 1)$ не удовлетворяет второму уравнению. Так что, наверное, только тем, что они по форме похожи.

[Xaositect]

SNet в сообщении #1175175 писал(а):

Вы, наверное, имели ввиду плюс в первом слагаемом.

Да, опечатка.

SNet в сообщении #1175175 писал(а):

Мы же когда решили систему, получили конкретные значения для каждого из слагаемых нашего равенства $f + g = 3$. Именно при c = $\sqrt{80}$ слагаемые будут совпадать с решениями системы.

Ну если так, то да. Но у Вас в решении этого не было написано.

-- Чт дек 08, 2016 14:03:22 --

Зато было написано некорректное утверждение

SNet в сообщении #1175161 писал(а):

Тогда равенство будет иметь место быть, если система

$$\left\{ \begin{array}{rcl} f + g = 3, \\ f^3+g^3 = 18 \\ \end{array} \right.$$

будет иметь решения.

[SNet]

Xaositect в сообщении #1175177 писал(а):

Ну если так, то да. Но у Вас в решении этого не было написано.

Тогда, выходит, этим методом задача сводится к решению простой системы относительно $c$?

-- 08.12.2016, 17:06 --

Xaositect в сообщении #1175177 писал(а):

Зато было написано некорректное утверждение

Да, теперь я осознал. Спасибо.

[Xaositect]

SNet в сообщении #1175179 писал(а):

Тогда, выходит, этим методом задача сводится к решению простой системы относительно $c$?

Да. Либо Вам можно возвести найденное $f$ в куб, чтобы проверить, что оно действительно $\sqrt[3]{9 \pm \sqrt{80}}$

[SNet]

Тему можно закрывать.

[arqady]

Можно воспользоваться вот такой формулой сокращённого умножения:

$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

[mihiv]

Задача упрощается, если заметить, что $fg=1$.