Корень кв. уравнения

[oleg9]

Коэфф. при $c$ равен (кв. ур. относит. $c$): $-2b\cos(A)$.
$D/4 = a^2-b^2\sin^2(A)$.

Надо найти корни. Разбираю случай $a>b$.
Затупил и никак не дойдет как получается вот такой корень: $c=\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}-b\cos(A)$.
(Второй корень здесь: $c=b\cos(A)+\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}$, если что).

Что именно непонятно: почему мы отнимаем $b\cos(A)$ от выражения под корнем (а не наоборот). И как мы к этому пришли.

Вопрос элементарный, но иногда клинит

[Someone]

Вы напишите полностью своё квадратное уравнение и покажите, как Вы его решаете. Тогда будет хотя бы понятно, в чём проблема. А так, извините, нужно телепатом быть, чтобы понять, что Вы хотите.

[Лукомор]

Someone в сообщении #1175093 писал(а):

Вы напишите полностью своё квадратное уравнение

Приведенных в стартовом сообщении исходных данных: коэффициент при неизвестном, четвертушка дискриминанта, пара корней, - достаточно, чтобы записать единственное уравнение, удовлетворяющее сразу всем этим данным, в предположении, что все данные правильные.
Я рискну записать это уравнение, а потом посмотрим , какое уравнение решал ТС, и сравним!
Итак, вот реконструкция исходного квадратного уравнения:
$(\frac{2b\cos(A)}{\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}})c^2-(2b\cos(A))c+(\frac{(b^2-a^2)(\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)})}{2b\cos(A)})=0$.
Его корнями будут:
$c_{1,2}=\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}\pm b\cos(A)$

[Someone]

Лукомор в сообщении #1175111 писал(а):

:wink:

Лучше, чтобы уравнение написал тот, кто спрашивает. Я, конечно, ценю ваши телепатические способности, но имею подозрения по поводу правильности написанного в стартовом сообщении. Возможно, не основательные, но…

[Лукомор]

Someone в сообщении #1175151 писал(а):

Лучше, чтобы уравнение написал тот, кто спрашивает. Я, конечно, ценю ваши телепатические способности, но имею подозрения по поводу правильности написанного в стартовом сообщении.

Вы совершенно правы!
Просто я здесь исходил из презумпции правильности всего того, что написал ТС, пока мы не убедились в обратном!
Если честно, мне просто показалось забавным, что корни, в предположении, что они правильные, выглядят "наоборот"!
Тут еще и обозначения перекручены, ко всему...
Я сильно привык к общему виду квадратного уравнения: $ax^2+bx+c=0$
А здесь, мало того, что буквы $a, b, c$ заняты под другие вещи, так и неизвестное обозначено буквою $c$.
Меня это не напрягает, пусть уже будет, тогда, в общем виде:
$kc^2+mc+n=0$.
Мне показалось забавным, что для уравнения, которое я записал по мотивам ТС получается:
$\frac{-m}{2k}=\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}$
и
$\frac{\sqrt{m^2-4kn}}{2k}=b\cos(A)$.
То-есть корень квадратный отсутствует там, где мы привыкли его видеть, и появляется там, где его не ждали - в первом слагаемом! Мне именно это понравилось, а так-то, да!, ждем разьяснений от ТС.

[Singular]

Не нужно быть телепатом, чтобы понять, что тут речь идёт о теореме косинусов
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\left(A\right)$
и все обозначения встают на своё место.

[Лукомор]

(Оффтоп)

Singular в сообщении #1175257 писал(а):

Не нужно быть телепатом, чтобы понять, что тут речь идёт о теореме косинусов

Ну вот...
Убили всю интригу!

[oleg9]

Здравствуйте. Прошу извинить если дал неполные данные, мне показалось этого достаточно. Ну да ладно.

Сама задача такая:

В треугольнике даны стороны $a ,b$ и угол $A$. Найти сторону $c$.

Решаем.
Запишем в след. виде теор. косинусов $c^2-2b\cos(A)\cdot c + b^2-a^2$=0. Получили кв. ур. относительно $c$.
$D/4 = a^2-b^2\sin^2(A)$
Отсюда:
1) Если $a < b\sin(A)$, то таких $c$ не существует;
2) Если $a=b\sin(A)$, то $c=b\cos(A)$;
3) Если $b>a>b\sin(A)$, то $c=b\cos(A)\pm \sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}$;
4) Если $a=b$, то $c=2b\cos(A)$;
5) И если $a>b$, то $c=b\cos(A)+\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}$ и $c=\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}-b\cos(A)$.

Мой вопрос насчет того как получился последний корень (почему отнимаем $b\cos(A)$ от выражения под корнем). Спасибо.
Чувствую не вижу очевидного.

[gris]

А это вовсе и не корень вашего квадратного уравнения. Вторым корнем по общепринятой формуле будет $c=b\cos(A)-\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}$. Выражение, увы, отрицательно. Вероятно, под "корнем" вы имеете в виду решение задачи. Есть соблазн взять абсолютную величину выражения, что и было сделано. Но и тут плохо дело. Рассмотрим такие данные: $a=\sqrt 3;b=1;\angle A=\pi/3$
Наше уравнение будет иметь вид $c^2-c-2=0$.
Два корня: $c=2$ и $c=-1$. Первый корень соответствует прямоугольному треугольнику,
удовлетворяющему условиям задачи. Второй корень, если мы его превратим в $c=1$, приведёт к противоречию: равносторонний треугольник, у которого одна сторона вдвое больше другой.
То есть по школьной терминологии $c=-1$ посторонний корень. А значение $c=1$, полученное с помощью формулы $\sqrt{a^2-b^2\sin^2(A)}-b\cos(A)$ не будет ни корнем, ни решением задачи.
Да и геометрически видно, что при $a>b$ имеется только одно решение (пересечение соответствующих окружности и луча).

[oleg9]

gris, спасибо большое! Наконец-то дошло)

[gris]

Ну если уж так хочется использовать это выражение, то можно организовать притяжение за уши. В задаче задаётся угол, а можно задавать синус угла. Тогда в одном из решений появится спорное выражение

[oleg9]

gris, и все же, как быть с этим? я запутался что-то

[Someone]

Если $a>b$, то на рисунке 4 точка $B_1$ будет располагаться за точкой $A$, и вместо требуемого угла в треугольнике будет дополнение этого угла до $180^{\circ}$.

Добавление. Исправил опечатку, указанную в следующем сообщении.

[oleg9]

Someone в сообщении #1175363 писал(а):

Если $b>a$, то на рисунке 4 точка $B_1$ будет располагаться за точкой $A$, и вместо требуемого угла в треугольнике будет дополнение этого угла до $180^{\circ}$.

Вы имеете ввиду $a>b$? То есть в книге неверное решение или что?
Простите, если глупые вопросы задаю, но никак не пойму что-то, а хочется

[gris]

У Ткачука книга слишком толстая, чтобы там не было мелких ошибок.
Сейчас я нарисую недостающую картинку. И почему вот именно её не достаёт?

Выполним геометрическое построение. Поставим точку $C$. Проведём окружность с центром в $C$ и радиусом $a$. Это будет геометрическое место положения вершины $B$.
Построим в произвольную сторону отрезок $AC$ длиной $b$ и от него в произвольную полуплоскость отложим угол, равный углу $A$. Все наши "произвольности" могут привести только к повороту картинки вокруг точки $C$ и не влияют на результат. И вот теперь смотрим на луч, образующий сторону угла $A$, отличную от построенной ранее $CA$. Вершина луча лежит внутри окружности. То есть луч пересекает её ровно в одной точке $B$. И треугольник $ABC$ будет единственным (с точностью до движений) решением нашей задачи.
Но откуда взялось второе решение? Дополним наш луч до прямой. Она пересечёт окружность в точке $B'$. Угол $B'AC$ не равен углу $A$, а смежен с ним (равенство при прямом угле даёт равные треугольники). Собственно, это уже сказали знающие люди. Углы не равны, но равны их синусы. Я уже говорил об этом "притяжении за уши". Это не является решением нашей задачи, но решением родственной ей, когда вместо величины угла задан его синус. Синусы смежных углов равны, а косинусы противоположны (по знаку). Дело в том, что в некоторых курсах геометрии теорему косинусов проходят ещё до понятия о векторах, до синусов и косинусов тупых углов. Ну да не буду Вас путать.