Некоторые общие свойства гомологии

[Rusit8800]

Есть несколько известных фактов про гомотетию:
1. Центры гомотетий трех попарно гомотетичных фигур коллинеарны(теорема Даламбера).
2. Две гомотетичные фигуры гомотетичны дважды
3. Отношение гомотетичных фигур транзитивно.
Интересно, а остаются ли верными эти формулировки, если слово "гомотетия" заменить на "гомология"? И верно ли обобщение теоремы Дезарга для произвольной фигуры(или хотя бы для многоугольников)?

[Munin]

А что такое "гомология"?

[Rusit8800]

Гомологичные фигуры - это то же самое, что перспективные фигуры

-- 06.12.2016, 18:41 --

https://ru.wikipedia.org/wiki/Гомология_(проективная_геометрия)

[arseniiv]

Понятнее написано в https://en.wikipedia.org/wiki/Homography#Central_collineations. Длинное определение чтобы сюда переписывать.

[Munin]

То есть, гомотетия не является "гомологией"?

[Rusit8800]

Она является ее частным случаем

-- 06.12.2016, 20:46 --

Например теорема Дезарга на этом языке формулируется так: "Два треугольника гомологичны тогда и только тогда, когда имеют ось гомологии".

[arseniiv]

Мне кажется, в этой формулировке что-то не так. Ось гомологии — это функция гомологии, и тогда если треугольники негомологичны, то и никакой гомологии у нас нет, чтобы найти её ось.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1174671 писал(а):

Она является ее частным случаем

В каком именно случае?

[Rusit8800]

Munin в сообщении #1174681 писал(а):

В каком именно случае?

Всегда. Дам определение из "Новой геометрии треугольника"
Две фигуры $ABCD$ и $A'B'C'D'$ называют гомологичными, если прямые $AA'$, $BB'$, ... пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром гомологии. Прямые $AB$ и $A'B'$, $BC$ и $B'C'$ пересекаются на одной прямой, называемой осью гомологии(это достаточно сильное обобщение теоремы Дезарга, как ни странно, оно дано без доказательств, может, если провести проективное преобразование, то все станет на свои места, но в этом я не разбираюсь).
Две гомологичные фигуры называют гомотетичными, если расстояния соответственных их точек $A$ и $A'$,$B$ и $B'$ от центра $O$ гомотетии пропорциональны, то есть если

$$\[\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = .... = k\]$$

-- 06.12.2016, 23:19 --

Кстати утверждение, про ось гомологии тоже под вопросом: неужели это обобщение теоремы Дезарга на произвольную фигуру также верно(хотя это утверждение - свойство, а не критерий, но если еще найти доказательство и "в другую сторону", то его можно будет назвать полноценным обобщением теоремы Дезарга)

-- 06.12.2016, 23:33 --

Гипотезу сформулирую так: Две фигуры гомологичны тогда и только тогда когда имеют ось гомологии

-- 06.12.2016, 23:46 --

Похоже гипотеза не работает, вот опровержение для четырехугольника, синие точки не являются коллинеарными.
https://vk.com/doc184577446_439497877

[Munin]

То ли определение, то ли теорема...

[Rusit8800]

В книге, это идет как определение, но на деле - теорема, которая судя по всему неверна.

[Munin]

В общем, я так и не понял, что вы чем называете, и как эти понятия соотносятся. Что такое гомотетия, я знаю, и как она может быть частным случаем "гомологии", как вы её описываете, в упор не вижу.

[Rusit8800]

Я не знаю как можно еще объяснить. Скажу только то, что перспективность фигур, ось перспективы, центр перспективы это тоже самое, что гомологичность фигур, ось гомологии и центр гомологии, просто одну вещь назвали разными именами. Теперь поможет только Википедия...
https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Дезарга

-- 07.12.2016, 11:37 --

Rusit8800 в сообщении #1174738 писал(а):

Похоже гипотеза не работает, вот опровержение для четырехугольника, синие точки не являются коллинеарными.

https://4.downloader.disk.yandex.ru/pre ... e=1280x640

-- 07.12.2016, 11:39 --

На картинке красная точка - центр гомологии четырехугольников $ABCD$ и $A'B'C'D'$.