Задача по геометрии

[Rusit8800]

Из некоторой точки $P$ опущены перпендикуляры $PA_1$ и $PA_2$ на сторону $BC$ треугольника $ABC$ и на высоту $AA_3$. Аналогично определяются точки $B_1$, $B_2$ и $C_1$, $C_2$. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ пересекаются в одной точке или параллельны.

[gris]

Доказательство для прямоугольного треугольника.
Пусть угол $C$ прямой. Очевидно, что прямые $A_1A_2$ и $B_1B_2$ совпадают.
При любом положении прямой $C_1C_2$ требование задачи выполнено.
Ну на ночь только такое в голову пришло

[DeBill]

Пусть $A_3$ - основание высоты из $A$. Чет-к $PA_1A_3A_2 $ - прямоугольник, и его диагонали точкой пересечения $O_A$делятся пополам. Сделаем гомотетию с коэф-том 2 и центром в $P$: центр прямоугольника $O_A$ перейдет в его вершину $A_3$, а диагональ $A_1A_2$ - в прямую, симметричную $A_3P$ относительно высоты $AA_3$. Т.о., достаточно показать, что прямые, соединяющие точку $P$ с основаниями высот, после отражения относительно соответствующих высот, конкурентны. Но высоты тр-ка $ABC$ являются биссектрисами для ортотреугольника $A_3B_3C_3$. Так что все получилось: отраженные прямые пересекаются в точке, (изогонально) сопряженной точке $P$ относительно отротреугольника

-- 04.12.2016, 03:47 --

эээ, надо еще ее вернуть на место обратной гомотетией - с к-том $\frac{1}{2}$ - там будут пересекаться исходные прямые

[Sergic Primazon]

Эту задачу можно обобщить.



$(PP_{A_1} ||AN \ , \ PP_{A_2}||BC) \ , \ (PP_{B_1} ||BN \ ,\ PP_{B_2}||AC) \ , \ (PP_{C_1} ||CN \ ,\ PP_{C_2}||AB)$

Докажите, что прямые $P_{A_1}P_{A_2}$, $P_{B_1}P_{B_2}{$ и $P_{C_1}P_{C_2}$ пересекаются в одной точке или параллельны.

[DeBill]

В общей задаче есть токо параллельность - аффинным преобразованием сводим ее к частной....

[Rusit8800]

DeBill в сообщении #1174025 писал(а):

Пусть $A_3$ - основание высоты из $A$. Чет-к $PA_1A_3A_2 $ - прямоугольник, и его диагонали точкой пересечения $O_A$делятся пополам. Сделаем гомотетию с коэф-том 2 и центром в $P$: центр прямоугольника $O_A$ перейдет в его вершину $A_3$, а диагональ $A_1A_2$ - в прямую, симметричную $A_3P$ относительно высоты $AA_3$. Т.о., достаточно показать, что прямые, соединяющие точку $P$ с основаниями высот, после отражения относительно соответствующих высот, конкурентны. Но высоты тр-ка $ABC$ являются биссектрисами для ортотреугольника $A_3B_3C_3$. Так что все получилось: отраженные прямые пересекаются в точке, (изогонально) сопряженной точке $P$ относительно отротреугольника

-- 04.12.2016, 03:47 --

эээ, надо еще ее вернуть на место обратной гомотетией - с к-том $\frac{1}{2}$ - там будут пересекаться исходные прямые

Я именно так и решил