Интеграл от бесселевой функции и гиперболических функций

[rose8mimi]

Продолжаю решать сие интегралы. После различных преобразований пришли к интегралу определяющего вид поверхности жидкости:
$\eta = - \frac{\sigma}{g} \sin (\sigma t) \int\limits_{0}^{+ \infty} \frac{q}{2 \pi} \frac{\ch (k(H-h))}{\frac{\sigma^2}{gk} \ch (kH) - \sh (kH) } I_0 (\rho k) dk $
Подынтегральная функция выходит нечетной
И дальнейшие пути решения в общем - в тупике.
Были идеи пробовать вычетами через тфкп.
Или функцию в четную преобразовать.
Как лучше решить сей интеграл?

[mihiv]

Под интегралом знаменатель дроби обращается в 0 при некотором $k$.

[sergei1961]

mihiv - в ноль, почему? Косинус всегда строго больше синуса, или нет?
Я бы перешёл к экспонентам, упростил снизу, разложил оставшиеся (или даже одну оставшуюся) экспоненту в ряд и пытался проинтегрировать почленно.

[mihiv]

Приравнивая знаменатель нулю, получим уравнение:

$$\th (kH)=\dfrac {\sigma ^2}{gk}$$

При изменении $k$ от 0 до $+\infty $ левая часть уравнения монотонно взрастает от 0 до1, а правая - монотонно убывает от $+\infty $ до 0. Поэтому уравнение имеет один корень.

[sergei1961]

Понятно, показалось, что на этот множитель вся дробь умножается, спасибо.