Функционально-вероятностное уравнение

[alisa-lebovski]

Хотелось бы доказать хотя бы существование или не существование такой функции распределения $F$ на $(0,+\infty)$, что для всех $t>0$ выполнено равенство

$$\int_0^{+\infty} (1-tx)_+\,dF(x)=\left(\int_0^{+\infty}e^{-tx}\,dF(x)\right)^A,$$

где $A>1$. Пока найдены $F$, которые приближают это равенство асимптотически, при $t\to 0$ и $t\to +\infty$, но просто соединить их, конечно, не дает нужного результата.

[VPro]

Например, функция Хевисайда подходит.

[alisa-lebovski]

Нет, речь конечно идет о нетривиальной функции (не соответствующей тождественному нулю).

[VPro]

В таком случае у меня для Вас неутешительные новости: других решений здесь очевидно нет.

[alisa-lebovski]

Отрицательный результат - тоже результат. Но мне пока не очевидно.

[VPro]

Очевидное неравенство для подынтегральных функций приводит к очевидному неравенству для интегралов, которое только усиливается от возведения в степень одного из них.

[Vince Diesel]

Чисто интересно, а для $A=1$ получается что хорошее?

[alisa-lebovski]

Без возведения в степень интеграл справа всегда больше интеграла слева, но поскольку они оба меньше единицы, то возведение в степень правого не усиливает неравенство, а сглаживает. То есть для фиксированных $F$ и $t>0$ можно всегда подобрать $A>1$, при котором равенство выполняется. Но нужно наоборот, при фиксированном $A$ найти $F$, чтобы равенство выполнялось при всех $t>0$.

[VPro]

alisa-lebovski в сообщении #1173993 писал(а):

Без возведения в степень интеграл справа всегда больше интеграла слева, но поскольку они оба меньше единицы, то возведение в степень правого не усиливает неравенство, а сглаживает. То есть для фиксированных $F$ и $t>0$ можно всегда подобрать $A>1$, при котором равенство выполняется. Но нужно наоборот, при фиксированном $A$ найти $F$, чтобы равенство выполнялось при всех $t>0$.

Вы правы, я поторопился с очевидностью, за что прошу прощения. Однако, я по прежнему уверен в том, что других решений нет. Имеются две монотонные кривые, полученые интегральными преобразованиями функции плотности. Ядра этих преобразований совершенно разные. С какой стати найдется такая функция плотности, отличная от дельта-функции, что одну кривую можно перевести в другую возведением в степень? По крайней мере, нужно потребовать, чтобы показатель степени зависел от времени.
Я переформулировал вашу задачу в более удобном виде, обозначив $z=\frac{1}{t}$ и проинтегрировав по частям:

$$\frac{1}{z}\int_0^z{F(x)dx}=\left( \frac{1}{z}\int_0^{\infty}{\exp\left(-\frac{x}{z}\right)F(x)dx} \right)^A. (1) $$

К правой части можно применить вторую теорему о среднем: $\int_0^{\infty}{\exp\left(-\frac{x}{z}\right)F(x)dx} =\int_0^{X(z)}{F(x)dx}$, где $X(z)$ некоторая монотонная функция, $X(z)>z $, $\frac{X(z)}{z}\to 1$ при $z\to\infty$. Вид функции $X(z)$ зависит от $F(x)$. Тогда, обозначив $G(z)=\int_0^z{F(x)dx}$ за искомую функцию, можно записать функциональное уравнение

$$\frac{1}{z}G(z)=\left(\frac{1}{z}G(X(z)) \right)^A. (2)$$

Функция $G(z)$ как интеграл функции распределения должна быть монотонна, выпукла и иметь наклонную асимптоту вида $z-c$. Теперь осталось, предположив для любой непрерывной функции распределения $F(x)$, что равенство в форме (1) или (2) выполнено для некоторого $z_1$ , доказать, что найдется $z_2$, где оно нарушено. Будет время, постараюсь довести до конца.

[alisa-lebovski]

VPro в сообщении #1174272 писал(а):

Функция $G(z)$ как интеграл функции распределения должна быть монотонна, выпукла и иметь наклонную асимптоту вида $z-c$.

Спасибо за новый подход, попробую. Но здесь все еще хуже: такая асимптота будет в предположении конечного математического ожидания $c$, а здесь это исключено, выяснилось из асимптотики обеих частей при $t\to 0$.

[VPro]

Вернемся к уравнению (1)

VPro в сообщении #1174272 писал(а):

... обозначив $z=\frac{1}{t}$ и проинтегрировав по частям:

$$\frac{1}{z}\int_0^z{F(x)dx}=\left( \frac{1}{z}\int_0^{\infty}{\exp\left(-\frac{x}{z}\right)F(x)dx} \right)^A. (1) $$

Введем обозначение $G(z)=\int_0^z{F(x)dx}$ и проинтегрируем по частям интеграл в правой части. Получим уравнение

$$\frac{G(z)}{z}=\left( \frac{1}{z^2}\int_0^{\infty}{x\exp\left(-\frac{x}{z}\right)\frac{G(x)}{x}dx} \right)^A. $$

Это уравнение имеет "тривиальное" решение $G(z)=z$ при любом $A$. Функция $\frac{G(z)}{z}$ принадлежит пространству распределений и правую часть можно рассматривать как оператор в этом пространстве, а само уравнение задает неподвижную точку для этого оператора.
Осталось взять какую-нибудь метрику в пространстве распределений и доказать, что рассматриваемый оператор будет сжимающим. Тогда "тривиальное" решение будет единственной неподвижной точкой.