Метод получения кватернионно-голоморфных функций

[asteroid]

Несмотря на большой количество работ, в рамках существующего кватернионного анализа не удается создать (см. напр., http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /02-09.pdf) простой метод, позволяющий получать такой же полный «спектр» кватернионно дифференцируемых функций, какой имеется для комплексно дифференцируемых (голоморфных, аналитических, регулярных) аналогов. Если комплексно дифференцируемую функцию можно получить из действительно дифференцируемого аналога путем простой замены в последнем действительной переменной на комплексную (без изменения характера функции), то это не удается, если мы хотим простой заменой переменных получить кватернионно дифференцируемую (далее используется термин «голоморфная») функцию из комплексно дифференцируемого аналога. Поэтому, надеюсь, будет интересно следующее простое решение этой проблемы.

Суть метода. Мы представляем кватернионный аргумент $q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k=(q_0+q_1i)+(q_2+q_3i){\cdot j}\in\mathbb{H}$, где "$\cdot $" обозначает кватернионное умножение, $q_0,q_1,q_2,q_3$ - действительные числа, а также кватернионную функцию этого аргумента $\psi(q)=\psi_0+\psi_1i+\psi_2j+\psi_3k\in\mathbb{H}$ ($\psi_0, \psi_1,\psi_2,\psi_3$ - действительные функции переменных $q_0,q_1,q_2,q_3$) в форме "удвоения" Кэли-Диксона : $q=a+b\cdot j$, где $a=q_0+q_1i,\;b=q_2+q_3i$, а также $\psi(q)=\psi(a,b)=\Phi_1(a,b)+\Phi_2(a,b)\cdot j$, где $\Phi_1(a,b)=\psi_0+\psi_1i,\Phi_2(a,b)=\psi_2+\psi_3i$. Мы рассматриваем только выражения для кватернионных функций, которые следуют из выражений для комплексных функций после замены в последних полной комплексной переменной, например $z=q_0+q_1i$ или $z=q_0+q_3k$ (все равно, с какой мнимой единицей записана комплексная переменная $z$) на полную кватернионную переменную $q$ без изменения (и это очень важно!) характера функциональной зависимости, т. е. типа функции. Например, вместо комплексных функций $\psi(z)=z^{-1}$ или $\exp{z}$ мы строим кватернионные функции, соответственно, $\psi(q)=q^{-1}$ или $\exp{q}$. После этого мы представляем кватернионную функцию в форме удвоения Кэли-Диксона, когда функции $\Phi_1(a,b)$ и $\Phi_2(a,b)$ имеют единственную мнимую единицу $i$, а мнимая единица $j$ следует обязательно за функцией $\Phi_2(a,b)$. Кватернионная голоморфная (мы не уточняем здесь области голоморфности) функция определяется как кватернионная функция, удовлетворяющая следующей системе кватернионных условий голоморфности, обобщающей комплексные условия Коши-Римана:

$$(1)\;\partial_a\Phi_1=\partial_{\bar{b}} \overline{\Phi}_2 ,\qquad (2)\;\partial_a\Phi_2=-\,\partial_{\bar{b}} \overline{\Phi}_1 ,$$

$$(3)\;\partial_a\Phi_1=\partial_b\Phi_2 ,\qquad (4)\;\partial_{\bar{a}}\Phi_2=-\,\partial_{\bar{b}}\Phi_1 ,$$

$$\mbox{после выполнения перехода}\;a=\bar{a}=x ,$$

где штрих над величиной обозначает ее комплексное сопряжение и $\;\partial_s=\frac{\partial}{\partial{s}}\;\left(s=a,\bar{a},b,\bar{b}\right)$. Эти уравнения следуют (см. https://de.scribd.com/doc/6243890/Quat-Analysis, https://de.scribd.com/doc/256874956/Adequate-Quaternion-Analysis#scribd или http://www.twirpx.com/file/1737149/) из стандартного определения кватернионной производной как предела отношения дифференциальных разностей с дополнительным требованием независимости предела от способа кватернионного деления: слева или справа. Порядок работы с уравнениями (1) - (4) единственно следующий: (a) высчитываются частные производные из этих уравнений, (b) осуществляется переход $\;a=\bar{a}=x$ в полученных выражениях для частных производных, и только после этого перехода (c) проверяется выполнение равенств в уравнениях (1) - (4) для рассматриваемой функции, т. е. проверяется, является ли она кватернионно-голоморфной.

Простейшая из формул для расчета полной кватернионной производной $\psi_H^\prime(q)$ от голоморфной кватернионной функции $\psi_H(q)$ имеет следующий вид в форме "удвоения" Кэли-Диксона:

$$(5)\;\psi_H^\prime (q)=\Phi_1^\prime +\Phi_2^\prime {\cdot j}=\left( {\partial_a\Phi_1 +\partial_{\bar{a}}\Phi_1} \right)+\left( {\partial_a\Phi_2 +\partial_{\bar{a}}\Phi_2} \right){\cdot j} . $$

Для производной любого порядка $(k),\;k\geqslant1$ используется рассчетная формула

$$(6)\;\psi_H^{(k)}(q)=\Phi_1^{(k)} +\Phi_2^{(k)}{\cdot j}=\left( {\partial_a\Phi_1^{(k-1)} +\partial_{\bar{a}}\Phi_1^{(k-1)}}\right)+\left( {\partial_a\Phi_2^{(k-1)} +\partial_{\bar{a}}\Phi_2^{(k-1)}}\right){\cdot j}, $$

где $\Phi_1^{(k-1)},\;\Phi_2^{(k-1)}$ - компоненты предыдущей $(k-1)$-й производной в форме удвоения: $\;\psi_H^{(k-1)}(q)=\Phi_1^{(k-1)} +\Phi_2^{(k-1)}{\cdot j}$ и $\Phi_1^{(0)}=\Phi_1,\Phi_2^{(0)}=\Phi_2$.

Кватернионные производные любого порядка от кватернионно-голоморфных функций являются также (аналогично комплексному анализу) кватернионно-голоморфными, т. е. удовлетворяют уравнениям (1) - (4), куда вместо $\Phi_1 $ и $\Phi_2 $ подставляются, соответственно, $\Phi_1^{(k)}$ и $\Phi_2^{(k)}$. Выражения для кватернионных производных совпадают по форме с выражениями для соответствующих комплексных аналогов. Так, если производная от комплексно-голоморфной функции $\psi_C (z)=\exp z$ есть $\psi_C^\prime (z)=\exp z$, то и производная от кватернионно-голоморфной функции $\psi_H (q)=\exp q$ будет $\psi_H^\prime (q)=\exp q$.

Пример: Кватернионная функция $\psi(q)=\psi(a,b)=q^4=\left(a+b\cdot j\right)^4$. Она должна быть голоморфна, поскольку голоморфна исходная комплексная функция $\psi(z)=\psi(x,y)=z^4=\left(x+yi\right)^4$. Последовательно перемножая величины $\left(a+b\cdot j\right)$ и используя формулу $j\cdot \alpha=\bar{\alpha}\cdot j$, где $\alpha \in\mathbb{C}$, получим выражение функции в форме "удвоения" Кэли-Диксона:

$$\psi(q)=q^4=\left(a+b\cdot j\right)\cdot\left(a+b\cdot j\right)\cdot\left(a+b\cdot j\right)\cdot\left(a+b\cdot j\right) =\Phi_1(a,b)+\Phi_2(a,b)\cdot j ,$$

где $\;\Phi_1(a,b)=a^4-\left(3a^2+2a\bar{a}+\bar{a}^2\right)b\bar{b}+b^2\bar{b}^2 $; $\;\Phi_2(a,b)=\left(a^3+a^2\bar{a}+a\bar{a}^2+\bar{a}^3\right)b-2 \left(a+\bar{a}\right)b^2\bar{b}$ и, соответственно, комплексно сопряженные $\overline{\Phi}_1(a,b)=\bar{a}^4-\left(3\bar{a}^2+2\bar{a}a+a^2\right)b\bar{b}+b^2\bar{b}^2$; $\overline{\Phi}_2(a,b)=\left(\bar{a}^3+\bar{a}^2a+\bar{a}a^2+a^3\right)\bar{b}-2 \left(a+\bar{a}\right)\bar{b}^2b$. Вычисляя производные для уравнений (1) - (4), а также $\partial_{\bar{a}}\Phi_1$ получим следующие выражения $:\,\,\,\partial_a\Phi_1=4a^3-\left(6a+2\bar{a}\right)b\bar{b};$
$\partial_b\Phi_2=\partial_{\bar{b}}\overline{\Phi}_2=\left(a^3+a^2\bar{a}+a\bar{a}^2+\bar{a}^3\right)-4\left(a+\bar{a}\right)b\bar{b}$ $;\,\,\,\partial_a\Phi_2=-\,\partial_{\bar{b}}\Phi_1=\left(3a^2+2a\bar{a}+\bar{a}^2\right)b-2b^2\bar{b}$ $;\,\,\,\partial_{\bar{a}}\Phi_2=-\,\partial_{\bar{b}}\overline{\Phi}_1=\left(a^2+2a\bar{a}+3\bar{a}^2\right)b-2b^2\bar{b}$$;\,\,\,\partial_{\bar{a}}\Phi_1=-\,2\left(a+\bar{a}\right)b\bar{b}.$ Используя обозначение $\left(\dots\right\rvert$, где вертикальная линия вместо замыкающей круглой скобки означает, что в выражении внутри скобок уже произведен переход $\;a=\bar{a}=x ,$ легко убедиться, что условия кватернионной голоморфности (1) - (4) для функции $\psi(q)=q^4$ выполняются :

$$(1)\;\left(\partial_a\Phi_1\right\rvert=\left(\partial_{\bar{b}} \overline{\Phi}_2\right\rvert=4x^3-8xb\bar{b} ,\qquad (2)\;\left(\partial_a\Phi_2\right\rvert=-\,\left(\partial_{\bar{b}} \overline{\Phi}_1\right\rvert= 6x^2b-2b^2\bar{b},$$

$$(3)\;\left(\partial_a\Phi_1\right\rvert=\left(\partial_b\Phi_2\right\rvert=4x^3-8xb\bar{b} ,\qquad (4)\;\left(\partial_{\bar{a}}\Phi_2\right\rvert=-\,\left(\partial_{\bar{b}}\Phi_1\right\rvert=6x^2b-2b^2\bar{b} .$$

Подставляя и суммируя значения частных производных в (5), нетрудно получить следующее выражение для первой производной $\left( q^4\right) \prime =\Phi_1^\prime +\Phi_2^\prime {\cdot j}=4\left[a^3-\left(2a+\bar{a}\right)b\bar{b}\right]+4\left[\left(a^2+a\bar{a}+\bar{a}^2\right)b-b^2\bar{b}\right]{\cdot j}=4q^3$, откуда определяем $\Phi_1^\prime=4\left[a^3-\left(2a+\bar{a}\right)b\bar{b}\right]$ и $\Phi_2^\prime=4\left[\left(a^2+a\bar{a}+\bar{a}^2\right)b-b^2\bar{b}\right]$. Видно, что выражение для кватернионной производной совпадает по форме с аналогичным комплексным выражением: $\left( z^4\right) \prime =4z^3$. Для проверки голоморфности производной $\left(q^4\right)\prime$ высчитываем частные производные: $\,\,\partial_a\Phi_1^\prime=4\left(3a^2-2b\bar{b}\right)$$;\,\partial_b\Phi_2^\prime=\partial_{\bar{b}}\overline{\Phi^\prime}_2=4\left[\left(a^2+a\bar{a}+\bar{a}^2\right)-2b\bar{b}\right]$ $;\,\,\,\partial_a\Phi_2^\prime= -\,\partial_{\bar{b}}\Phi_1^\prime=4\left(2a+\bar{a}\right)b$;$\,\,\partial_{\bar{a}}\Phi_2^\prime=-\,\partial_{\bar{b}}\overline{\Phi^\prime}_1=4\left(a+2\bar{a}\right)b$$;\,\,\partial_{\bar{a}}\Phi_1^\prime=-\,4b\bar{b}$ и, подставляя их в уравнения (1) - (4), убеждаемся, что производная $\left(q^4\right)\prime$ также голоморфна:

$$(1)\;\left(\partial_a\Phi_1^\prime\right\rvert=\left(\partial_{\bar{b}} \overline{\Phi^\prime}_2\right\rvert=4\left(3x^2-2b\bar{b}\right) ,\qquad (2)\;\left(\partial_a\Phi_2^\prime\right\rvert=-\,\left(\partial_{\bar{b}} \overline{\Phi^\prime}_1\right\rvert= 12xb,$$

$$(3)\;\left(\partial_a\Phi_1^\prime\right\rvert=\left(\partial_b\Phi_2^\prime\right\rvert=4\left(3x^2-2b\bar{b}\right) ,\qquad (4)\;\left(\partial_{\bar{a}}\Phi_2^\prime\right\rvert=-\,\left(\partial_{\bar{b}}\Phi_1^\prime\right\rvert=12xb .$$

Подставляя выражения для частных производных от $\Phi_1^\prime$ и $\Phi_2^\prime$ в формулу (6) и приводя подобные члены, получим теперь выражение для второй кватернионной производной от функции $\psi_H(q)=q^4$:$\,\left( q^4\right)^{(2)} =\Phi_1^{(2)} +\Phi_2^{(2)}{\cdot j} =12\left(a^2-b\bar{b}\right)+12\left(a+\bar{a}\right)b{\cdot j}=12q^2$, которое совпадает по форме с аналогичным комплексным выражением $:\,\left( z^4\right)^{(2)} =12z^2$ Отсюда следуют выражения $\Phi_1^{(2)}=12\left(a^2-b\bar{b}\right)$ и $\Phi_2^{(2)}=12\left(a+\bar{a}\right)b$, подставив которые в уравнения (1) - (4) нетрудно убедиться, что вторая кватернионная производная от кватернионно-голоморфной функции $\psi_H(q)=q^4$ также кватернионно-голоморфна. Для третьей кватернионной производной от функции $\psi_H(q)=q^4$ аналогично имеем в соответствии с (6) следующее выражение: $:\,\left( q^4\right)^{(3)} =\Phi_1^{(3)} +\Phi_2^{(3)}{\cdot j} =24a+24b{\cdot j}=24q$, которое совпадает по форме с комплексным выражением для аналогичной производной $:\,\left( z^4\right)^{(3)} =24z.$. Очевидно, что и третья и четвертая производные от функции $\psi_H(q)=q^4$ также голоморфны. Подробности и примеры можно найти по указанным выше трем ссылкам.

[пианист]

asteroid в сообщении #1173366 писал(а):

Мы представляем кватернионный аргумент $q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k=(q_0+q_1i)+(q_2+q_3i){\cdot j}\in\mathbb{H}$

А если, к примеру,
$q=q_0+q_1i+q_2j+q_3k=(q_0+q_2j)+(q_1-q_3j){\cdot i}$ -
то же самое получится?
--
(Почти не офтоп)
Не знаете, не рассматривался ли такой вариант обобщения на кватернионы: танцевать не от $\frac{df}{dh}$, а от существования линейной части приращения $\delta f$?

[asteroid]

Этот вариант не предусмотрен в текущей версии. Мне кажется он только усложнит доказательство того, что замена комплексной переменной на кватернионную даст функцию, удовлетворяющую уравнениям (1) - (4). Если можете, докажите. Относительно существования определения производной, как линейной части. Есть прекрасная работа Омара Джагнидзе по этой теме: On the differentiability of quaternion functions, https://arxiv.org/abs/1203.5619 Однако там все же есть проблема с логарифмической функцией

[asteroid]

В теории рассматриваемого метода главная (линейная) часть полного приращения $\Delta\psi(q, {\bar{q}})$ представляется следующим образом:
${\left[\Delta\psi(q, {\bar{q}})\right]}_{\mbox{главн}}=\left[\partial_a\Phi_1+\left(\partial_{\bar{a}}\Phi_2 \right){\cdot j} \right]\cdot\left( \Delta a+\Delta b {\cdot j}\right)+\left( \Delta a+\Delta b {\cdot j}\right)\cdot\left[\partial_a\Phi_1+\left(\partial_{a}\Phi_2 \right){\cdot j} \right]$, где выражения в квадратных скобках (по порядку следования) - правая и левая кватернионные производные. Соответственно выглядит и полный дифференциал.

[пианист]

asteroid в сообщении #1173437 писал(а):

Если можете, докажите

Не, я не настолько погружен в тематику ;)
Мне просто кажется (на моем уровне знаний, не очень глубоком ;), что логично было бы, чтобы от таких вещей не зависело.

asteroid в сообщении #1173437 писал(а):

Есть прекрасная работа Омара Джагнидзе по этой теме

Спасибо, интересно. Да, именно это.

(Оффтоп)

Честно говоря, его формула (2.3) (в отличие от (2.1.)) вызывает смутные сомнения.
Ну т.е. определить $f'(z)$ так, конечно, можно. Главное, потом где-нибудь не написать
$\Delta f(z) = f'(z) \Delta z + o(\Delta z)$.
Впрочем, тему, как было сказано, я слабо представляю.

[asteroid]

Я думаю, Ваш вариант представления кватерниона $q=\left(q_0+q_2j\right)+\left(q_1-q_3j\right){\cdot i}$ не совсем соответствует идее схемы удвоения, когда из комплексного числа получается кватернион, если действительные компоненты в комплексном числе заменить на комплексные, пусть даже с мнимой комплексной единицей $j$. В первом компоненте $+$, во втором $-$ (как бы сопряжение). Сложновато обосновать, почему? Ведь требуется простая схема построения из комплексного числа кватернионного.

[Xaositect]

Если Вам не нравится сопряжение, то можно записать как $(q_0 + q_2j) + i(q_1 + q_3j)$.

[asteroid]

В случае выбора Вашей записи придется в такой же форме записывать и функции $\psi(q)=\left(\psi_0+\psi_2j\right)+i\left(\psi_1+\psi_3j\right)=\Phi_1(a,b)+i\cdot \Phi_2(a,b)$, переписывать в такой же форме все дифференциальные oператоры и адаптировать выводы. Но конечные результаты будут те же самые. Мне, так проще преобразовать Вашу запись $q=\left(q_0+q_2j\right)+i\left(q_1+q_3j\right)=a_j+ib_j$ к уже использованной форме $q=\left(q_0+q_1i\right)+\left(q_2+q_3i\right){\cdot j}=a_i+b_i{\cdot j}$. Единицы $i,j,k$ эквивалентны, можно как угодно записывать.