Обобщаю т. Пифагора

[geomath]

Рассмотрим обычный треугольник (на евклидовой плоскости), у которого одна сторона больше двух других: $c > b \geqslant a$. Если хотите, $c$ можете называть гипотенузой, а $a$ и $b$ - катетами. Тогда найдется такое $D > 1$ (зависящее от треугольника и имеющее смысл размерности), что

$a^D + b^D = c^D$ (обобщенная теорема Пифагора).

Действительно, рассмотрим уравнение $(a/c)^x + (b/c)^x = 1$. Его левая часть при больших $x$ будет почти нулем, а при малых - почти двойкой. Значит, при некотором $x = D > 0$ в силу непрерывности она будет в точности единицей. А поскольку в треугольнике всегда $a + b > c$, то $D > 1$. Единственность $D$ докажите сами.

Например, для прямоугольного треугольника автоматически $D = 2$ (по т. Пифагора), а для равнобедренного - $D = \log(1/2) / \log(d/c)$, где $d = a = b < c$, так что в пределе, для равностороннего треугольника, $D = +\infty$.

[AD]

Всё верно, по идее. Только вот это не понял:

geomath писал(а):

имеющее смысл размерности

_________________

geomath писал(а):

Единственность $D$ докажите сами.

Ну а это в силу монотонности.
_________________
Попробуйте обобщить на случай, когда одна сторона меньше двух других: $c < b \leqslant a$

[geomath]

AD писал(а):

Всё верно, по идее. Только вот это не понял: "имеющее смысл размерности".

Вообще-то, для меня всякое отношение логарифмов имеет смысл размерности. По аналогии. В треугольнике всегда a + b > c. А как представить себе a + b < c? Ну, например, как канторово множество с двумя масштабами длины, a/c и b/c. Хаусдорфова размерность D такого множества как раз удовлетворяет уравнению (a/c)^D + (b/c)^D = 1, но уже 0 < D < 1. Для собственно Канторовского множества имеем a/c = b/c = 1/3 и D = log 2 / log 3 ~ 0.63.

AD писал(а):

Попробуйте обобщить на случай, когда одна сторона меньше двух других: $c < b \leqslant a$

Если c < b < a, то просто переставим (переобозначим) c и a. Если же c < b = a = d и, по-прежнему, a^D + b^D = c^D, то D = log(1/2) / log(d/c) < 0 и в пределе, для равностороннего треугольника, D минус-бесконечно. Хотя выше D плюс-бесконечно. Нехорошо как-то.

[e2e4]

Развивая мысль, применяя т. косинусов (которая, кстати, также является обобщением т. Пифагора ), получим, что для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом между ними $\alpha$, справедливо соотношение:

$(a^D + b^D) = (a^2+b^2-2\cdot a\cdot b \cdot \cos{\alpha})^{\frac{D}{2}}$
К сожалению, выразить отсюда $D$ не удается (во всяком случае MathCAD спасовал).

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

P. S. geomath, посмотрите, пожалуйста, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13863, и если дадите добро, давайте я напишу свою мысль здесь, а ту тему попрошу модераторов удалить?

[geomath]

e2e4 писал(а):

geomath, посмотрите, пожалуйста, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13863, и если дадите добро, давайте я напишу свою мысль здесь, а ту тему попрошу модераторов удалить?

Давайте, пишите.

e2e4 писал(а):

Развивая мысль, применяя т. косинусов (которая, кстати, также является обобщением т. Пифагора ), получим, что для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом между ними $\alpha$, справедливо соотношение:
$(a^D + b^D) = (a^2+b^2-2\cdot a\cdot b \cdot \cos{\alpha})^{\frac{D}{2}}$
К сожалению, выразить отсюда $D$ не удается (во всяком случае MathCAD спасовал).

Если фиксировать стороны a и b или их отношение, то D будет функцией угла альфа (но угол лучше обозначать С). И вопрос состоит в том, как разумно (с нетривиальными последствиями) выбрать этот угол в зависимости от a и b или их отношения?

[MGM]

geomath писал(а):

Рассмотрим обычный треугольник (на евклидовой плоскости), у которого одна сторона больше двух других: $c > b \geqslant a$. Если хотите, $c$ можете называть гипотенузой, а $a$ и $b$ - катетами. Тогда найдется такое $D > 1$ (зависящее от треугольника и имеющее смысл размерности), что

$a^D + b^D = c^D$ (обобщенная теорема Пифагора).

Действительно, рассмотрим уравнение $(a/c)^x + (b/c)^x = 1$. Его левая часть при больших $x$ будет почти нулем, а при малых - почти двойкой. Значит, при некотором $x = D > 0$ в силу непрерывности она будет в точности единицей. А поскольку в треугольнике всегда $a + b > c$, то $D > 1$. Единственность $D$ докажите сами.

Например, для прямоугольного треугольника автоматически $D = 2$ (по т. Пифагора), а для равнобедренного - $D = \log(1/2) / \log(d/c)$, где $d = a = b < c$, так что в пределе, для равностороннего треугольника, $D = +\infty$.

Для равносторонних треугольников в точке высоты корень из трёх бесконечность меняет знак. Как в и случае с пределом натурального основания.

[MGM]

e2e4 писал(а):

Развивая мысль, применяя т. косинусов (которая, кстати, также является обобщением т. Пифагора ), получим, что для треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом между ними $\alpha$, справедливо соотношение:

$(a^D + b^D) = (a^2+b^2-2\cdot a\cdot b \cdot \cos{\alpha})^{\frac{D}{2}}$
К сожалению, выразить отсюда $D$ не удается (во всяком случае MathCAD спасовал).

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

P. S. geomath, посмотрите, пожалуйста, http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=13863, и если дадите добро, давайте я напишу свою мысль здесь, а ту тему попрошу модераторов удалить?

Аналитическую формулу спасовал нарисовать?
Потому как численное значение вычисляется тривиально можно делением пополам интервала.