Матан->теория меры->максимальная функция

[Seltsamermann]

Someone в сообщении #1173529 писал(а):

Seltsamermann в сообщении #1173516 писал(а):

$f(x)=\frac{1}{x \cdot \ln^2(\frac{x}{a_i})}$, если $x=a_i \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$.

Знаменатель равен $0$.

Да, и правда, бред вышел.
Но идея с применением множества рацев определенно стоящая. Надо, наверное, просто несколько видоизменить функцию конкретно для этой части.
К примеру, взять некое $y_{i}=2a_{i}-a_{i+1}$ (т.е. берем число, близкое к иксу, но при этом чуть меньшее его) и...
$f(x)=\frac{1}{x \cdot \ln^2(\frac{x}{y_{i}})}$, если $x=a_i \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$.
$f(x)=\frac{1}{x \cdot \ln^2(x)}$, если $x \in (0, \frac{1}{2}) \setminus\mathbb{Q}$.
$f(x)=0$ в остальных случаях.
Тогда все условия остаются прежними, а что касается $Mf(x)$:

$$\int\limits_{a}^{b} Mf(x)dx=\int\limits_{a}^{b} \sup\limits_{r>0} \frac {1}{\lambda B_r (x)} [\int\limits_{B_r (y)}^{} \frac{1}{y \cdot \ln^2(y)}dy+\int\limits_{B_r (y)}^{} \frac{1}{y \cdot \ln^2(\frac{y}{y_i})}dy]dx$$

Первая часть интеграла "обеспечивает" отсутствие суммируемости в нуле. Вторая, в итоге, раскладывается как $\ln \frac{b+r}{y_i} - \ln \frac{b-r}{y_i} - \ln \frac{a+r}{y_i} + \ln \frac{a-r}{y_i}$, а учитывая, что берется супремум по $r$, одно из четырех значений уж точно будет бесконечным, что дает нам искомую несуммируемость везде, кроме нуля.

Разумно?

P.S. Пока перечитывал, вдруг подумал, что благодаря супремуму, возможно, и не нужно устраивать весь этот бред с $y_i$, а просто взять некую ненулевую константу и радоваться жизни...