Производная arctg(arctan)

[Joe Black]

Вывожу производную арктангенса из определения. Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в точке (0;0). Проведём радиус OM так, что OM образует угол $\alpha$ с осью Ох. Проведём перпендикуляр МА к оси Ох. Получили прямоугольный треугольник ОМА. Пусть $\tg \alpha=x$. Тогда:

$$\displaystyle{\Delta \tg \alpha = \tg (\alpha + \Delta \alpha) - \tg \alpha = \dfrac{\sin (\alpha + \Delta \alpha )}{\cos (\alpha + \Delta \alpha) } - \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha \cos(\alpha + \Delta \alpha)}}$$

$$\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\arctg(x+\Delta x) - \arctg x}{\Delta x} = \lim_{\Delta \alpha \to 0} \dfrac{\Delta \alpha \cos \alpha \cos (\alpha + \Delta \alpha)}{\sin \Delta \alpha} = \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{1 + x^2}$$

Верно?

[Someone]

В последнем выражении первого равенства явно чего-то не хватает. Да и второе равенство непонятное.

[Joe Black]

в 1-ом забыл дельта в числителе:

$$\displaystyle{\Delta \tg \alpha = \tg (\alpha + \Delta \alpha) - \tg \alpha = \dfrac{\sin (\alpha + \Delta \alpha )}{\cos (\alpha + \Delta \alpha) } - \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{\sin \Delta \alpha}{\cos \alpha \cos(\alpha + \Delta \alpha)}}$$

2е:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\arctg(x+\Delta x) - \arctg x}{\Delta x} = \lim_{\Delta \alpha \to 0} \dfrac{\alpha+\Delta \alpha - \alpha}{\dfrac{\sin \Delta \alpha}{\cos \alpha \cos(\alpha + \Delta \alpha)}} = $$ $$\lim_{\Delta \alpha \to 0} \dfrac{\Delta \alpha \cos \alpha \cos (\alpha + \Delta \alpha)}{\sin \Delta \alpha} = \cos^2 \alpha = \dfrac{1}{1 + x^2}$$

[Aritaborian]

Как вообще понимать вот это: $\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+x^2}$?

[grizzly]

Aritaborian в сообщении #1173584 писал(а):

Как вообще понимать вот это: $\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+x^2}$?

Это должно помочь:

Joe Black в сообщении #1173544 писал(а):

Пусть $\tg \alpha=x$.

[Joe Black]

grizzly в сообщении #1173587 писал(а):

Aritaborian в сообщении #1173584 писал(а):

Как вообще понимать вот это: $\cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+x^2}$?

Это должно помочь:

Joe Black в сообщении #1173544 писал(а):

Пусть $\tg \alpha=x$.

[Aritaborian]

grizzly в сообщении #1173587 писал(а):

Это должно помочь:

Вот же ж