Базис пересечения подпространств (один вопрос)

[ftwtryhard]

Задание:
Найдите базисы суммы и пересечения подпространств $L_1$ и $L_2$, натянутых на заданные системы векторов.

$x_1 = (0,0,1,-2), x_2 = (0, 1,4,0), x_3 = (-1,2,4,-4), x_4 = (4,-6,1, -2)$

$y_1 =(1,-3,1,-1), y_2 = (1,-3, 0,1), y_3 = (-1,3,2,-5), y_4 = (2,-6,-1,4)$

После приведения к треугольному виду матрицы с векторами $x$ получилась матрица с $dimL_1 =3$, $(x_3,x_2,x_1)$

После приведения к треугольному виду матрицы с векторами $y$ получилась матрица с $dimL_1 =2$, $(y_1, y_2)$

Построил матрицу $(x_3, x_2, x_1, y_1, y_2)$ :

$$ \begin{pmatrix} -1 & 2 & 4 & -4 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix} $$

$$ Привел её к треугольному виду: \begin{pmatrix} -1 & 2 & 4 & -4 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 13 \\ \end{pmatrix} $$

В базис вошли $(x_3, x_2, x_1, y_1)$, $\Rightarrow$ $dim(L_1 + L_2) = 4$
$\Rightarrow L_1 \neq L_2$

Размерность $L_1 \cap L_2$ находим из:
$dimL_1 + dimL_2 = dim(L_1+L_2) + dim (L_1 \neq L_2)$
$ 3 + 2 = 4 + x, x = 1 \Rightarrow dim(L_1 \cap L_2) = 1 $

Вопрос: что дальше? В учебнике только пример с $dim(L_1 \cap L_2) = 2$, там обозначают 2 вектора $z_1$ и $z_2$ и решают.
Но у меня $dim(L_1 \cap L_2) = 1 $

Помогите пожалуйста дорешать, всего 2 часа осталось

[Xaositect]

ftwtryhard в сообщении #1173420 писал(а):

Но у меня $dim(L_1 \cap L_2) = 1 $

Ну и обозначте один вектор $z_1$ и решайте.

[ftwtryhard]

Xaositect в сообщении #1173421 писал(а):

ftwtryhard в сообщении #1173420 писал(а):

Но у меня $dim(L_1 \cap L_2) = 1 $

Ну и обозначте один вектор $z_1$ и решайте.

Я уже думал над этим, получил матрицу:

$$ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & | &1\\ 2 & 1 & 0 & -3 & | &-3\\ 4 & 4 & 1 & 1 & | &0\\ -4 & 0 & -2 & -1 & | &1\\ \end{pmatrix} $$

До черты $(x_3, x_2, x_1, y_2)$, после черты поставил $y_1$, это правильно?

В учебнике так же, только там 2 таких матрицы получается. С $y_1$ и $y_3$ ($y_1 и y_3$ не входят в базис)

[Xaositect]

ftwtryhard в сообщении #1173424 писал(а):

До черты $(x_3, x_2, x_1, y_2)$, после черты поставил $y_1$, это правильно?

Это зависит от того, зачем Вы эту матрицу написали. Что Вы хотите найти и как эта матрица с этим чем-то связана?

[ftwtryhard]

Xaositect в сообщении #1173427 писал(а):

ftwtryhard в сообщении #1173424 писал(а):

До черты $(x_3, x_2, x_1, y_2)$, после черты поставил $y_1$, это правильно?

Это зависит от того, зачем Вы эту матрицу написали. Что Вы хотите найти и как эта матрица с этим чем-то связана?

Найти хочу базис пересечения подпространств $L_1$ и $L_2$