Простое ОДУ с обобщенной функцией ?

[Markiyan Hirnyk]

Red_Herring в сообщении #1173073 писал(а):

Ну и теперь: 1) распишите значения при $t<T$ и $t>T$ и подставьте в уравнение, чтобы проверить, удовлетворяется ли оно,.

Извините, мне нечего обсуждать с вами в такой манере. Вы же не проверили предложенное вами решение.

[amon]

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1173066 писал(а):

Для $f(x)=x^3$ Мэйпл производит ответ, отличающийся от предложенного вами

А у меня на компьютере еще Reduce стоит. Так когда я его попросил эту задачу решить, он такое написал! Здесь привести не могу, забанят за ненормативную лексику.

2Red_Herring Да, не подумавши ляпнул. Виноват. Но про $\theta$'у это для красного словца, ясно, что это не решение.

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Блокировка одна неделя за очередное нарушение требований модераторов воздержаться от использования математических пакетов там, где это совершенно не нужно. Если Вы не отличаете, где нужно, а где нет - воздержитесь от участия в дискуссии вообще.

[Red_Herring]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1173081 писал(а):

Извините, мне нечего обсуждать с вами в такой манере. Вы же не проверили предложенное вами решение.

Разница в том, что я вывел и обосновал это решение, и я отвечаю за него, а Вы не ничего получили, получило софтваре, и вы не знаете, что там внутри заложено и не отвечаете за Стива Вольфрама. Если вы этого не понимаете, то давать объяснения в ПРР(М) вам противопоказано.

[Divergence]

Red_Herring в сообщении #1173059"] написал
"Произведение $f(x(t))\delta(t-T)$ не определено, если $f(x(t))$ имеет разрыв при $t=T$".
А дальше предложено условие непрерывности: "Первое уравнение это условие непрерывности. $f(c_+)=f(c_{-})$."

В связи с этим возник вопрос: На какие функции можно умножать дельта функцию Дирака $f(x(t))\delta(t-T)$ ?

Функция $f(x(t))$ в выражении $f(x(t))\delta(t-T)$ должна быть непрерывной в точке $t=T$ или дифференцируемой?
Можно ли умножать на непрерывную, но недифференцируемую в этой точке?
Можно ведь испортить бесконечную дифференцируемость дельта-функции.

[Red_Herring]

Divergence в сообщении #1173216 писал(а):

Можно ведь испортить бесконечную дифференцируемость дельта-функции.

ROTFL
$\delta$ это обобщенная функция над $C_0$ (она расширяется с о.ф. над $C_0^\infty$ [и даже над $C$)]. Умножая на непрерывную функцию мы получим опять о.ф. над $C_0$. И тем самым над $C_0^\infty$ и в таком качестве она бесконечно дифференцируема.

[Divergence]

Спасибо, но есть уточняющие вопросы:

В выражении $f(x(t))\delta(t-T)$ имеется ввиду обобщенная функция над $C_T$ ?
Из вашего ответа следует, что выражение $|t-T|\delta(t-T)$ имеет смысл,
а выражение $H(t-T)\delta(t-T)$ не имеет смысла ?
Здесь $|x|$ -модуль; $H(x)$ - функция Хевисайда.

[Red_Herring]

Divergence в сообщении #1173250 писал(а):

Спасибо, но есть уточняющие вопросы:

В выражении $f(x(t))\delta(t-T)$ имеется ввиду обобщенная функция над $C_T$ ?

Над$ C(\mathbb{R}) $и тем самым над $C_0^\infty (\mathbb{R}) \subset C(\mathbb{R})$.

Цитата:

Из вашего ответа следует, что выражение $|t-T|\delta(t-T)$ имеет смысл,
а выражение $H(t-T)\delta(t-T)$ не имеет смысла ?
Здесь $|x|$ -модуль; $H(x)$ - функция Хевисайда.

Indeed. И первое равно просто 0

-- 01.12.2016, 05:02 --

Кстати: попробуйте решить эту задачу с $f(x)=x^2$.

Аналогично решается и второе уравнение, только $x(t)$ будет иметь 2 точки разрыва и принимать 3 значения, $c_1,c_2,c_3$ и там для них и $d$ будет 5 уравнений (перебор) и потому как правило будут только тривиальные решения $x(t)=c$ с $f(c)=0$.

[Divergence]

Как я понимаю с уравнением
$D^2_t x(t)=f(x(t)) \delta(t-T)$
уже не будет этих проблем, если положить $x(T-0)=x(T+0)$ ?

Правильно ли я понимаю, что в уравнении с первой производной проблему можно устранить, слегка его изменив
$D^1_t x(t)=f(x(t-\epsilon)) \delta(t-T)$,
где $0<\epsilon<T$, поскольку $x(T-\epsilon-0)=x(T-\epsilon+0)$ ?

Что вы подразумеваете под $C_0$ (функции непрерывные в нуле)?

[Red_Herring]

Да

Да, получается т.н. уравнение с запаздывающим аргументом. Но после того как обучающийся (т.е. Вы) понял, на что можно умножать дельту, эти примеры малоинтересны.

Я подразумеваю то, что подразумевает любой стандартный учебник, который я Вам рекомендую читать для систематического обучения.

[Markiyan Hirnyk]

Согласно У. Рудин, Функциональный анализ, М.: Мир, 1975, часть 2б гл. 6, пар. 6.15 , произведение $x(t)^3\delta(t-T)$ определено, если функция $x(t)^3$ бесконечно дифференцируема. Следовательно, общее решение ОДУ $x'(t)=x(t)^3\delta(t-T)$ имеет вид $x(t)=\operatorname{const}$. Решения, предложенные Мэйплом и Математикой, ошибочны. Не будучи специалистом в ОДУ, консультировался с коллегами ( в частности, с Ю. Головатым , с его разрешения сообщаю э-адрес [e-mail] ) по этому вопросу, так что изложенное не является только моей личной точкой зрения.

[Sicker]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1175101 писал(а):

Согласно У. Рудин, Функциональный анализ, М.: Мир, 1975, часть 2б гл. 6, пар. 6.15 , произведение $x(t)^3\delta(t-T)$ определено, если функция $x(t)^3$ бесконечно дифференцируема.

Да когда и не бесконечно тоже.

Markiyan Hirnyk в сообщении #1175101 писал(а):

Следовательно, общее решение ОДУ $x'(t)=x(t)^3\delta(t-T)$ имеет вид $x(t)=\operatorname{const}$.

Неверно, константа должна быть нулевая $const=0$. И еще есть решения.
Вы пост Red_Herring читали вообще?
P.S. Сорри за некропостинг

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1288713 писал(а):

P.S. Сорри за некропостинг

Цитата:

Не буди лихо, пока спит тихо