Задача 31 из Гельфанд, Шень "Алгебра".

[A.Mercer]

Здравствуйте.
Я начал заниматься по И. М. Гельфанд, А. Шень "Алгебра". И у меня возник вопрос по задаче № 31 из темы "Расстановка скобок".
Задача № 31:
"Равенства $(2 \cdot 3) \cdot ( 4 \cdot 5) = ((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5 = 2 \cdot ((3 \cdot 4) \cdot 5) = 2 \cdot (3 \cdot (4 \cdot 5))$ можно объяснить с помощью закона ассоциативности $a(bc) = (ab)c$. Например, первое из четырёх равенств получается при $a = 2 \cdot 3, b = 4, c = 5$. Какие надо взять $a, b, c$ чтобы объяснить другие равенства?"

У меня для второго равенства получилось: $a = 4, b = 3, c = 2$. Не могу связать оставшуюся $5$ с этим ответом. Можно ли $5$ отнести к какому-нибудь из $a, b , c$?

Третье равенство: $a = 5, b = 3 \cdot 4, c = 2$.

Четвёртое: $a = 5, b = 4, c = 3$. Тут не соображу, куда $2$ деть?

[mihaild]

Тут нужно свойство равенства: если $x = y$, то $z \cdot x = z \cdot y$.

A.Mercer в сообщении #1172351 писал(а):

Третье равенство: $a = 5, b = 3 \cdot 4, c = 2$.

Не получается. $a$ должно быть слева.

[A.Mercer]

mihaild в сообщении #1172353 писал(а):

Тут нужно свойство равенства: если $x = y$, то $z \cdot x = z \cdot y$.

Тогда, пользуясь свойством равенства, второе и четвёртое равенство я представил правильно.

mihaild в сообщении #1172353 писал(а):

A.Mercer в сообщении #1172351 писал(а):

Третье равенство: $a = 5, b = 3 \cdot 4, c = 2$.

Не получается. $a$ должно быть слева.

А почему нельзя использовать свойство коммутативности: $a(bc) = (bc)a$?

[Sinoid]

A.Mercer в сообщении #1172351 писал(а):

Четвёртое: $a = 5, b = 4, c = 3$. Тут не соображу, куда $2$ деть?

Это вот тут

A.Mercer в сообщении #1172351 писал(а):

$2 \cdot ((3 \cdot 4) \cdot 5) = 2 \cdot (3 \cdot (4 \cdot 5))$

что ли? Так тут 2 стоит просто внешне, ассоциативность применяется к внутренности скобки.

A.Mercer в сообщении #1172475 писал(а):

А почему нельзя использовать свойство коммутативности: $a(bc) = (bc)a$?

Потому что коммутативность, это, скорее, исключение. Большая часть операций в математике некоммутативна.

A.Mercer в сообщении #1172351 писал(а):

У меня для второго равенства получилось: $a = 4, b = 3, c = 2$.

А кто сказал, что каждое из чисел $a$, $b$, $c$ должно выглядеть как число и не может быть каким-нибудь выражением?

[A.Mercer]

Sinoid в сообщении #1172495 писал(а):

A.Mercer в сообщении #1172351 писал(а):

У меня для второго равенства получилось: $a = 4, b = 3, c = 2$.

А кто сказал, что каждое из чисел $a$, $b$, $c$ должно выглядеть как число и не может быть каким-нибудь выражением?

Спасибо. Я думал над этим. Но пока не соображу, как получить выражение.

В общем, я понял, что у меня по всем трём равенствам неправильные ответы. Буду продолжать решать.

В равенстве $((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5$, по свойству равенства $ x = y \Rightarrow z \cdot x = z \cdot y, \forall x, y, z \in \mathbb{Z}$, нужно работать со множителями в скобках, игнорируя $5$. Тогда $a = 2, b = 3, c = 4$. Можно же применить $a(bc) = (ab)c$ не слева на право, а справа налево?

[Sinoid]

A.Mercer в сообщении #1172761 писал(а):

Можно же применить $a(bc) = (ab)c$ не слева на право, а справа налево?

Да можно хоть как.

[A.Mercer]

Проверьте, пожалуйста, правильно ли у меня получилось теперь:

$((2 \cdot 3) \cdot 4) \cdot 5 = (2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5, a = 2, b = 3, c = 4;$

$(2 \cdot (3 \cdot 4)) \cdot 5 = 2 \cdot ((3 \cdot 4) \cdot 5), a = 2, b = 3 \cdot 4, c = 5;$

$2 \cdot ((3 \cdot 4) \cdot 5) = 2 \cdot (3 \cdot (4 \cdot 5)), a = 3, b = 4, c = 5.$

?

[kp9r4d]

Правильно.

[A.Mercer]

kp9r4d в сообщении #1173043 писал(а):

Правильно.

Спасибо.