Пластина , которую несут три человека

[stedent076]

Три человека несут однородную пластину массой $M=70$ кг, имеющую форму равностороннего треугольника со стороной $2\sqrt{3}$ м, Один держит середину основания пластины, а двое других – противоположную вершину. На каком расстоянии $x$ (в см) от этой вершины надо положить на пластину груз массой $m=100$ кг, чтобы при горизонтальном положении пластины нагрузка была распределена поровну между всеми несущими?
------
Центр тяжести пластины находится на медиане треугольника, и делит ее в отношении $\dfrac{2}{1}$ считая от вершины. Медиана треугольника пластины равна $3$. Расстояние от центра масс до ближайщей вершины, которую держат двое человек равно $2$.Если каждый получает одинаковую нагрузку от пластины, то силы нормальной реакции каждого человека одинаковы и равны $N$.В проекциях на ось, перпендикулярную пластине запишем второй закон Ньютона для нее:
$y:3N-Mg-mg=0\Leftrightarrow N=\dfrac{(M+m)g}{3}$
Теперь запишем правило моментов относительно силы центра масс:
$O:(2-x)mg=1\cdot N+2\cdot 2N$
$(2-x)mg=5N$
$2mg-xmg=5N$
$x=\dfrac{2mg-5N}{mg}=\dfrac{2m-\frac{5}{3}(M+m)}{m}$. Если подставить данные значения, то получится $x<0$, чего быть не может. Подскажите, где у меня ошибка?

[wrest]

Мне кажется, что у вас из раза в раз повторяется одна и та же ошибка: вы хотите решить задачу умозрительно, но это не выходит.
Как у вас направлена $x$, откуда выходит?
Где получается отрицательное $x$? $\dfrac{2m-\frac{5}{3}(M+m)}{m}$ вовсе не отрицательное, поскольку $m=100$ кг, а $M=70$ кг...

[Dragon27]

stedent076 в сообщении #1172980 писал(а):

Теперь запишем правило моментов относительно силы центра масс:

Нарисуйте силы и поглядите, как каждая из них (в какую сторону) влияет на общий момент сил относительно центра масс.

[stedent076]

wrest
$\dfrac{2\cdot 100-\frac{5}{3}(100+70)}{100}=\dfrac{200-283}{100}=?$

-- 30.11.2016, 14:55 --

Dragon27
$O:1\cdot N=2\cdot 2N+(2-x)mg$

[Dragon27]

stedent076 в сообщении #1172997 писал(а):

Dragon27
$O:1\cdot N=2\cdot 2N+(2-x)mg$

А у вас груз слева (ближе к вершине, где два человека) или справа от центра масс лежит? :)
$(2-x)$ - значит слева. $2\cdot 2N+(2-x)mg$ - значит он помогает двум людям у вершины подталкивать пластину вверх...

[wrest]

stedent076 в сообщении #1172997 писал(а):

$\dfrac{2\cdot 100-\frac{5}{3}(100+70)}{100}=\dfrac{200-283}{100}=?$

Да, вы правы -- это уже из-за моей умозрительности...

-- 30.11.2016, 15:11 --

Я бы, если умозрительно, то решал так. Изначально груз распределен между точками за которые несут как $1:2$ (это вы знаете из свойств центра масс равностороннего треугольника), то есть две трети на сторону и одна треть на вершину, а после того как положили дополнительный груз, стало наоборот -- две трети на вершину и треть на сторону. Распределение нагрузки от самой пластины осталось тем же, но добавилось распределение от дополнительного груза (теперь центр тяжести всей конструкции в два раза ближе к вершине чем к стороне).

Тогда в уме можно легко все посчитать (получается соотношение целых чисел в пределах десятки) и увидеть, где у вас ошибка.

В итоге вы бы сразу увидели, что:
1. Первоначальное распределение нагрузки сильно несправедливое.
2. Значит, груз надо положить ближе к вершине и значит $x$ по крайней мере меньше половины расстояния между точками, за которые несут конструкцию.

-- 30.11.2016, 15:23 --

Без рисунка неясно что вы имеете в виду, но ошибка, очевидно, здесь:

stedent076 в сообщении #1172980 писал(а):

Теперь запишем правило моментов относительно силы центра масс:
$O:(2-x)mg=1\cdot N+2\cdot 2N$

$x$ вам надо найти в сантиметрах, так что где-то в уравнениях должна появиться длина отрезка между носильщиками, равная 300, или расстояние от вершины до центра масс равное 100 или что-то в этом роде, с двумя нулями.

[Denis Russkih]

wrest в сообщении #1173016 писал(а):

Значит, груз надо положить ближе к вершине и значит $x$ по крайней мере меньше половины расстояния между точками, за которые несут конструкцию.

Я бы сказал, что он меньше трети этого расстояния. Ведь общий центр масс будет находиться между центрами масс треугольника и груза. Поскольку он будет лежать на одной трети расстояния от вершины, за которую держатся двое несунов, до точки, которую поддерживает одинокий труженик, то груз, получается, будет расположен ещё ближе к несунам, чем он.

В целом решение здесь довольно просто получить в уме — дольше расписывать, чем считать.

[DimaM]

У меня получилось $x=\dfrac{l(m-M)}{m}=$ 0.9 0.3 м от вершины.

[Dan B-Yallay]

Я решал по-другому и у меня получилось $x=0.3$ м от вершины.
Наверное неправильно, но я всё-таки выложу своё решение, чтобы найти в нём ошибку. Пользовался своими обозначениями, сорри.

Без потери общности заменим треугольник невесомым стержнем длиной 3 метра, и на него положим груз весом 70 кг в точке 2. Это будет якобы вес пластины в центре масс треугольника. Затем водрузим массу в 100 кг в точке $x:$

Вложение:

mt.jpg [ 11.76 Кб | Просмотров: 0 ]

Рассмотрим моменты относительно точки 0 и точки 3:

$$\begin{align*} M_0&=100\cdot x + 70 \cdot 2 \\ M_3&=100\cdot (3-x) + 70\cdot 1 \end{align*}$$

Из условия равномерного распределения нагрузки на несунов имеем: $M_3=2M_0$, следовательно:

$$\begin{align*} 100\cdot (3-x) + 70\cdot 1 &= 2(100\cdot x + 70 \cdot 2)\\ 300 - 100x +70 & = 200x+280\\ 90&=300x\\ x &=3/10 \end{align*}$$

Где ошибка?

[DimaM]

Dan B-Yallay в сообщении #1173193 писал(а):

Где ошибка?

Ошибка у меня
В формуле выше $l$ - это треть длины медианы, то есть 1 м.

[Dan B-Yallay]

DimaM

Уфф, пронесло...
Спасибо за ответ.

[Red_Herring]

Три чудака несут пластину,
А на пластине той--детина!
Куда детине пересесть,
Чтоб было поровну им несть?

Исправил рифму и заменил скотину на детину

[DimaM]

Red_Herring

(Оффтоп)

В последней строке рифма подкачала.

[Munin]

По-моему, задача издевательская. 23 килограмма нести - ещё туда-сюда, но 57... Не проще ли несущим послать подкладывающего?

[stedent076]

Всем большое спасибо за помощь!