Количество абелевых групп

[ikozyrev]

Решаю задачку: Сколько существует абелевых групп, в которых есть подгруппа, изоморфная $\math \mathbb Z/12 \mathbb Z$, фактор по которой тоже изоморфен $\math \mathbb Z/12 \mathbb Z$?

Решаю так:
Подгруппа $\math \mathbb Z/12 \mathbb Z$ имеет порядок 12, значит порядок гурппы делится на 12. А если фактор изоморфен $\math \mathbb Z/12 \mathbb Z$ то таких подгрупп дложно быть тоже 12, то есть получается 144 элемента в этой группе.
И такая группа - $\math \mathbb Z/144 \mathbb Z$, то есть ровно одна.

Или я ошибаюсь?

[Dan B-Yallay]

Как насчёт группы

$$ \mathbb Z/12 \mathbb Z \otimes \mathbb Z/12 \mathbb Z $$

?

[Brukvalub]

Из вашего решения следует, что группу можно разбить на $12$ не пересекающихся подгрупп. Попробуйте, однако, доказать, что любые две подгруппы в группе имеют непустое пересечение.

[ikozyrev]

Dan B-Yallay в сообщении #1172840 писал(а):

Как насчёт группы

$$ \mathbb Z/12 \mathbb Z \oplus \mathbb Z/12 \mathbb Z $$

?

Но разве такая группа не изоморфна $\math \mathbb Z/144 \mathbb Z$?

[Dan B-Yallay]

ikozyrev в сообщении #1172844 писал(а):

Но разве такая группа не изоморфна $\math \mathbb Z/144 \mathbb Z$?

А число 144 стало вдруг простым?

[ikozyrev]

Dan B-Yallay в сообщении #1172852 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1172844 писал(а):

Но разве такая группа не изоморфна $\math \mathbb Z/144 \mathbb Z$?

А число 144 стало вдруг простым?

Что то я совсем запутался. С какого хоть конца к этой задаче подходить?

[Dan B-Yallay]

ikozyrev в сообщении #1172854 писал(а):

Что то я совсем запутался. С какого хоть конца к этой задаче подходить?

Ну, сначала понять, что вот этот вывод неверен:

ikozyrev в сообщении #1172839 писал(а):

А если фактор изоморфен $\math \mathbb Z/12 \mathbb Z$ то таких подгрупп дложно быть тоже 12, то есть получается 144 элемента в этой группе.
И такая группа - $\math \mathbb Z/144 \mathbb Z$, то есть ровно одна.

Классов смежности действительно 12 и порядок группы $= 144$. И если бы 144 было простым числом, то согласно теореме Лагранжа, вы могли бы утверждать, что такая группа единственна с точностью до изоморфизма. Но увы, 144 - составное.

[ikozyrev]

Dan B-Yallay в сообщении #1172858 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1172854 писал(а):

Что то я совсем запутался. С какого хоть конца к этой задаче подходить?

Ну, сначала понять, что вот этот вывод неверен:

ikozyrev в сообщении #1172839 писал(а):

А если фактор изоморфен $\math \mathbb Z/12 \mathbb Z$ то таких подгрупп дложно быть тоже 12, то есть получается 144 элемента в этой группе.
И такая группа - $\math \mathbb Z/144 \mathbb Z$, то есть ровно одна.

Классов смежности действительно 12 и порядок группы $= 144$. И если бы 144 было простым числом, то согласно теореме Лагранжа, вы могли бы утверждать, что такая группа единственна с точностью до изоморфизма. Но увы, 144 - составное.

Да, спасибо. Тогда получается что групп будет столько сколько разложений 144 в прямые суммы?

[RIP]

Dan B-Yallay в сообщении #1172852 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1172844 писал(а):

Но разве такая группа не изоморфна $\math \mathbb Z/144 \mathbb Z$?

А число 144 стало вдруг простым?

Простота не по существу. $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ тогда и только тогда, когда $(m,n)=1$. Поэтому единственная (с точностью до изоморфизма) абелева группа порядка $n$ будет для бесквадратных $n$ (и только для них).

[Dan B-Yallay]

RIP в сообщении #1172863 писал(а):

Простота не по существу.

Я, собственно, упомянул простоту порядка группы только в связи с т. Лагранжа. Указанная Вами взаимная простота, естественно, более сильное в данном случае обоснование.

ikozyrev в сообщении #1172862 писал(а):

Тогда получается что групп будет столько сколько разложений 144 в прямые суммы?

Не все разложения числа 144 будут отвечать условиям Вашей задачи. См. коммент от уважаемого RIP-a.

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #1172840 писал(а):

$$ \mathbb Z/12 \mathbb Z \otimes \mathbb Z/12 \mathbb Z $$

Здесь сейчас написано $\mathbb Z/12\mathbb Z$, нужно обратно поменять на плюсик.

[Dan B-Yallay]

(g______d)

Там вообще, кажется, надо просто крестик \times ставить. Я уже забыл эти обозначения.

[ikozyrev]

Dan B-Yallay в сообщении #1172871 писал(а):

RIP в сообщении #1172863 писал(а):

Простота не по существу.

Я, собственно, упомянул простоту порядка группы только в связи с т. Лагранжа. Указанная Вами взаимная простота, естественно, более сильное в данном случае обоснование.

ikozyrev в сообщении #1172862 писал(а):

Тогда получается что групп будет столько сколько разложений 144 в прямые суммы?

Не все разложения числа 144 будут отвечать условиям Вашей задачи. См. коммент от уважаемого RIP-a.

Тогда получается что только одно разложение подходит -

$$ \mathbb Z/9 \mathbb Z \otimes \mathbb Z/16 \mathbb Z $$

?

[Dan B-Yallay]

Хм. А покажите лучше все возможные разложения с подгруппой порядка 12.

-- Вт ноя 29, 2016 14:36:13 --

И, кстати, чем Вас не устроило разложение $\mathbb Z_{12} \times \mathbb Z_{12}$?

[ikozyrev]

Dan B-Yallay в сообщении #1172887 писал(а):

Хм. А покажите лучше все возможные разложения с подгруппой порядка 12.

-- Вт ноя 29, 2016 14:36:13 --

И, кстати, чем Вас не устроило разложение $\mathbb Z_{12} \times \mathbb Z_{12}$?

ААА, ну да. Получается что разложения с подгруппой порядка 12 только такие:
$\mathbb Z_{12} \times \mathbb Z_{12}$
$\mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{12}$
$\mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{4}$
ибо все остальные не будут содержать прямых сумм изомофрных $\mathbb Z_{12}$, так?