Уравнение с частными производными второго порядка

[Red_Herring]

Vanya415 в сообщении #1169859 писал(а):

почему именно такие граничные условия? И если решения в конечном виде нет, то почему Maple даёт вполне себе нормальное решение?

Почему такие граничные условия? Читайте ту самую статью, и там объяснено
1) Чему равно ФР в вершине
2) Каким ОДУ должна ФР удовлетворять вдоль граничных характеристик
Где Вы видели решение, да ещё к тому же вполне себе нормальное?

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1169849 писал(а):

Зачем поворачивать? Задача Гурса задается в характеристических координатах.

Ну конечно, чтобы сразу повернуть обратно! :-)
Но по крайней мере, уравнение станет узнаваемым: Клейна-Гордона.

[Vanya415]

Уравнение $\frac{\partial^2 U}{\partial \xi \partial \eta} + BU=0$ (1) можно привести к обыкновенному дифференциальному заменой $U(\xi, \eta)=V(p)$, где $p=\sqrt{\xi \eta}$. Здесь есть один нюанс. Если $B>0$, то получается уравнение Бесселя, с соответствующим решением и всё хорошо, а если $B<0$, то ОДУ не понятно как решать, даже если уменьшить его порядок до первого.
Функцию Римана, как я понял, всё-таки необходимо использовать только если есть доп условия. Потому что, как на пример, в данном случае уравнение для нахождения функции Римана будет такое же как и (1) $\frac{\partial^2 R}{\partial \xi \partial \eta} + BR=0$ (2). Получается, что $U $ искать, что $R$, всё равно надо решать уравнение вида (1). А если его можно и так решить, то зачем тогда Риман?

Остался вопрос - как можно было догадаться, что надо использовать подстановку вида $p=\sqrt{\xi \eta}$??

P.S. А в википедии кстати плохо написано. Лучше смотреть у Кошлякова. И систему координат можно крутить до умопомрачения получая разные типы уравнений, только толку от этого....

[Munin]

Лучше у Кошлякова всё-таки не смотреть, а прочитать полностью. Чтобы понимать, что УЧП к ОДУ не сводится. А точнее, можно таким образом найти только некоторые решения, а остальные всё равно придётся искать. И заодно, прочитаете, зачем там тогда Риман.

[Red_Herring]

На самом деле правильный взгляд на функцию Римана через обобщенные функции. В любом случае, однако, (строго) гиперболические уравнения с двумя переменными не слишком интересны и нетипичны, поскольку по большому счету они ОДУ. А вот когда переменных больше, то начинаются интересные вещи типа фокусировки, каустик,....