Расположение подпространств линейного пространства

[Duelist]

Любые два подпространства $L_1,$ $L_2$ линейного пр-ва $L$ одинаковой размерности переводятся друг в друга автоморфизмом объемлющего пр-ва $L.$ То есть они одинаково расположены. Задача в том, чтобы сформулировать и доказать аналогичные утверждения для упорядоченных пар и троек подпространств.
Если у нас упорядоченные пары подпространств: $(L_1;L_2)$ и $(K_1;K_2),$ то необходимыми и достаточными условиями одинакового расположения подпространств будут: $\dim L_1 = \dim K_1, \dim L_2 = \dim K_2, \dim L_1 \cap L_2 = \dim K_1 \cap K_2$. Потому что мы можем построить базисы сумм $L_1+L_2$ и $K_1+K_2$. Автоморфизм $L,$ переводящий первый базис во второй, переведёт $L_1$ в $K_1$ и $L_2$ в $K_2$. Но в случае пары понятно, как строится базис суммы подпространств: нужно взять базис пересечения подпространств, дополнить его сначала до базиса одного подпространства, потом другого и взять в качестве базиса суммы объединение базиса пересечения двух подпространств и двух семейств векторов, которыми дополняли базис пересечения до базисов каждого из двух подпространств.

В случае тройки подпространств уже не всё так ясно. Как строить базис $L_1+L_2+L_3?$ Приходит на ум, например, взять в качестве элементов конструктора базис $L_1 \cap L_2 \cap L_3,$ потом его дополнения до базисов пересечений $L_1 \cap L_2,$ $L_1 \cap L_3,$ $L_2 \cap L_3$, потом, например, дополнения базиса $L_1 \cap L_2,$ до базиса $L_1,$ базиса $L_1 \cap L_3,$ до базиса $L_3,$ базиса $L_2 \cap L_3,$ до базиса $L_2.$ Но это какая-то сложная комбинация, и я не уверен. Прошу подсказать, как тут правильно действовать.

[arseniiv]

От балды: можно найти сначала базисы $L_1 + L_2$ и $L_3$.

[пианист]

Я бы взял так: сначала базис $L_1 \cap L_2 \cap L_3$, его дополнил до базисов в $L_1 \cap L_2$, $L_1 \cap L_3$, $L_2 \cap L_3$, затем до базисов в $L_1$, $L_2$, $L_3$.
Типа скелет.

-- Вт ноя 29, 2016 18:10:58 --

Duelist
Вы о том же самом говорите, сори ;)
Я к тому, что проще тут никак нельзя: если указанные структуры различаются, изоморфизма быть не может.
И обратно, подходящим выбором базисов получим изоморфизм.

[Duelist]

arseniiv
Не уверен, что потом получится изоморфизм трёх подпространств. Или Вы думаете, что получится?
пианист
Порождающее мн-во для $L_1+L_2+L_3$ так получается, а вот его линейную независимость не очевидно, как доказывать, в отличие от случая с двумя подпространствами.

[пианист]

Ну, прямым вычислением, например.
Пишем
$\lambda^{123}e_{123} + \lambda^{12}e_{12} + \lambda^{13}e_{13} + \lambda^{23}e_{23} + \lambda^{1}e_{1} + \lambda^{2}e_{2} + \lambda^{3}e_{3} = 0$,
если какие-то из коэффициентов $\lambda^{123}$ отличны от нуля, получаем разложение вектора из $L_1 \cap L_2 \cap L_3$ через векторы, в этом подпространстве не находящиеся - противоречие, откуда все эти коэффициенты нули.
Берем $\lambda^{12}$, рассуждаем аналогично, и т.д.

[Duelist]

пианист в сообщении #1172915 писал(а):

Пишем
$\lambda^{123}e_{123} + \lambda^{12}e_{12} + \lambda^{13}e_{13} + \lambda^{23}e_{23} + \lambda^{1}e_{1} + \lambda^{2}e_{2} + \lambda^{3}e_{3} = 0$,
если какие-то из коэффициентов $\lambda^{123}$ отличны от нуля, получаем разложение вектора из $L_1 \cap L_2 \cap L_3$ через векторы, в этом подпространстве не находящиеся - противоречие, откуда все эти коэффициенты нули.

Не совсем понял. Мы же не имеем разложение базиса пр-ва $L_1 \cap L_2 \cap L_3$ через векторы в нём не содержащиеся. А просто вектор из некоторого подпространства может выражаться через векторы в этом пр-ве не содержащиеся. Например, в $R^2$ подпространствами будут обычные оси координат (дающие прямую сумму для $R^2$) и $\{(x;y) \in R^2:x=y\}.$ И $(3;3)$ линейно выражается через $(0;1)$ и $(1;0).$

Если мы имеем ненулевые коэффициенты только для "последовательных" семейств векторов - например, для $e_{123}, e_{12}, e_{1},$ или $e_{123}, e_{1}$, то это даёт нетривиальную линейную зависимость некоторого базиса - в моём примере базиса $L_1$ - и приводит к противоречию. А если ненулевые коэффициенты имееются, например, в семействах $e_{123}, e_{12}, e_{23}?$

[пианист]

Ок, плохо написал.
Давайте подробнее.
Итак, $e_{123}$ базис $L_1 \cap L_2 \cap L_3$.
$e_{ij}$ векторы, дополняющие $e_{123}$ до базиса $L_i \cap L_j$.
$e_i$ векторы, дополняющие наборы $e_{123}, e_{ij}, e_{ik}$ до базиса $L_i$.
Построенные наборы обладают свойством: линейные оболочки комплектов наборов, не имеющих общих частей, имеют в пересечении только ноль.
(Например, ($e_{ij}) \cap (e_{123}) = \{ 0 \}$.)
Далее по тексту.
Теперь вроде все аккуратно.

[Duelist]

пианист
Ок, спасибо.