Натуральные уравнения кривой

[Padawan]

Пусть кривизна и кручение пространственной кривой удовлетворяют условию $k(s)\int_0^s\varkappa(s)ds=\varkappa(s)\int_0^s k(s)ds$. Найти её параметрическое представление $x=x(s), y=y(s), z=z(s)$.

[sergei1961]

Из приведённого интегрального соотношения для двух функций нельзя установить между ними связь, безотносительно тому, что они означают? Хочется производные взять, но сразу вроде не вижу...

[DeBill]

Ну, поделив на произведение интегралов, и интегрируя, найдем: кривизна с кручением связаны "линейно": $k = C \kappa $. И чё?

[Markiyan Hirnyk]

Возможно, я не понял условие. Оно выполнено для любой плоской регулярной кривой, т. к. кручение равно нулю во всех точках.

[Padawan]

Markiyan Hirnyk
Требуется выразить $x,y,z$ через функции $k,\varkappa$. Для плоской кривой выражение $x$ и $y$ через $k$ хорошо известно и есть во многих задачниках/учебниках по дифф. геометрии.

[Markiyan Hirnyk]

Плоская кривая - это кривая, все точки которой принадлежат некоторой плоскости в $\mathnn{R}^3$ (не обязательно плоскости $xOy$).

[Padawan]

Кривая натуральными уравнениями определяется с точностью до движения. Поэтому, если $\varkappa=0$, можно найти декартовы координаты, в которых кривая будет лежать в плоскости $xOy$.

[Markiyan Hirnyk]

Это мне ясно. Несплощенность пространственной кривой следовало обусловить в формулировке задачи.

[sergei1961]

DeBill -не понял, интеграл тоже функция, и его надо интегрировать?

[Markiyan Hirnyk]

Пространственная кривая, заданная параметрическими уравнениями $x=e^t\cos t, y= e^t\sin t, z= e^t,$ удовлетворяет соотношению. Ее кривизна $ \frac {\sqrt{2}} 3 e^{-t},$ a кручение $ \frac 1 3 e^{-t}.$ Проверку с Мзйплом см. в файле. Поскольку кривизна и кручение гладкой кривой в точке не изменяются при монотонном гладком отображении параметра, то соотношение имеет место и для натуральной параметризации.

[Padawan]

Markiyan Hirnyk
Нет. Функции $k$, $\varkappa$ заданы заранее. Они произвольные, но заданные.

[Markiyan Hirnyk]

По-видимому, неправильно понимаю "Таким образом, кривизна и кручение винтовой линии постоянны. Поскольку натуральные уравнения однозначно определяют форму кривой, других кривых с постоянными кривизной и кручением не существует" из Вики. а также формулировку вашего вопроса.

[DeBill]

sergei1961
Интеграл $K(s) = \int\limits_{0}^{s} k(s)ds$ - первообразная для $k(s)$:
$K'(s) = k(s)$. Так что исходное равенство есть
$\frac{K'(s)}{K(s)} = \frac{Q'(s)}{Q(s)}$, $Q(s) = \int\limits_{0}^{s} \kappa (s) ds$. Интегрируя, получим $\ln (K(s)) =\ln (Q(s)) + c$, или $K(s) = C\cdot Q(s)$. Дифференцируя, получим $k(s) = C\cdot\kappa(s)$.

А дальше - такое ощущение, что кривизну можно задать произвольно, а потом "подкрутить " кривую пропорционально....Т.е., поддатый первый пилот крутит от балды вертикальные элероны, а не менее поддатый второй - дублирует его действия с горизонтальными... ЖУТЬ!

[sergei1961]

Понял, спасибо.

[scwec]

DeBill в сообщении #1172859 писал(а):

получим $k(s) = C\cdot\kappa(s)$

Такие кривые называются линиями откоса.
Их свойства и соответствующие уравнения рассматривал П.К.Рашевский в Курсе дифференциальной геометрии стр.213, 214 издание 3, 1950г.,
а также А.П. Норден в Кратком курсе дифференциальной геометрии, стр.107-110, издание 2, 1958 г.