Вопросы о внутреннем произведении форм и векторов

[Metford]

У меня тут несколько вопросов есть про внутреннее произведение форм и векторных полей. На всякий случай уточню, что имею в виду операцию $i(X)$, связанную с производной Ли соотношением

$$L_X=di(X)+i(X)d.$$

Начну с вопроса формального. Читая первую часть книги Сарданашвили, столкнулся с другим обозначением - таким уголком небольшим. Прошу прощения, я даже не знаю, как его набрать... Но, помнится, видеть его и в других местах доводилось. Так вот, какое из этих двух обозначений больше распространено? Мне больше нравится обозначение с "уголком" по некоторым причинам (скажем, удобнее оно мне). Но "нравится" - это не довод, а во многих книгах, когда такая операция вообще упоминается, она обозначается $i(X)$.

Позже более конструктивные вопросы будут.

[Red_Herring]

Этот уголок? $\llcorner, \lrcorner, \ulcorner, \urcorner$

[Metford]

В другую сторону. Скажем так, отразить относительно вертикальной прямой.

[Aritaborian]

Тогда такой: $\lrcorner$

[Metford]

Aritaborian, да, этот. Не угадал я с первыми двумя буквами.
Red_Herring, не успел заметить, когда Вы сообщение дополнили. Жаль, что не появляется отметка как о непрочитанном сообщении, если сообщение редактировалось. Уже не в первый раз пропускаю чью-либо правку...
Спасибо!

Так. Самый маленький вопрос снялся. Теперь всё-таки: какой же вариант употребительнее?

[Munin]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1171016 писал(а):

Читая первую часть книги Сарданашвили

Имхо, не стоит учиться по Сарданашвили.

[Metford]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1171055 писал(а):

Имхо, не стоит учиться по Сарданашвили.

Я поправлю? Не стоит учиться по одному только Сарданашвили. Если же взять книги 3-4, то получается уже не так уж мрачно.

[Munin]

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1171062 писал(а):

Я поправлю? Не стоит учиться по одному только Сарданашвили.

Нет. Не стоит учиться по Сарданашвили вообще. Максимум, можно посмотреть оттуда, какие теории надо знать, и читать их по другим учебникам. Ну ещё раз повторяю, это имхо.

[Metford]

Ладно, будем считать, что всё равно, какие обозначения использовать. Вернусь к равенству

$$L_X\omega=d(X\lrcorner\omega)+X\lrcorner(d\omega).$$

Для функции (0-формы) это легко проверяется, я это сделал. Насколько я понял из книги Кобаяси и Номидзу, проверки в общем случае и не требуется. Но обоснование от меня ускользает. До этого говорилось, что два дифференцирования совпадают, если они совпадают на функциях и векторах. В данном случае проверка выполнялась только для функций. Для 1-форм она не нужна?

[Munin]

Выглядит слишком похоже на правило Лейбница $d(uv)=u\,dv+v\,du.$

[Metford]

Munin
Я надеюсь, что скоро придут люди, которые смогут меня поправить, но о правиле Лейбница тут не очень хорошо говорить по-моему. Правило Лейбница - это часть определения дифференцирования как дополнительной операции на некоторой алгебре. Внутреннее произведение вводится для векторов и форм любой степени. Т.е. тут нельзя говорить об алгебре, а потому и отсылка к правилу Лейбница нехороша. Похоже - это да, но тут ещё свою роль играют выбранные обозначения. Сравните с первой формулой в моём первом сообщении.

Тождество Картана, о котором я говорю, это скорее соотношение, связывающее три операции, определённые для дифференциальных форм: производную Ли, внешний дифференциал и свёртку с векторным полем.

[Munin]

Ну мне казалось, что всё это вложено в алгебру тензоров.

[Metford]

Но во внутреннем произведении могут участвовать не два любых тензора, а это с определением дифференцирования вроде бы не согласуется. И в любом случае слева в тождестве стоит производная Ли, а не внешний дифференциал.

[Slav-27]

Metford в сообщении #1172445 писал(а):

$$L_X\omega=d(X\lrcorner\omega)+X\lrcorner(d\omega).$$

Общепринятый путь таков:
1. Доказываем, что $L_X$ и $di_X+i_Xd=:\{d, i_X\}$ -- дифференцирования алгебры дифференциальных форм $\Lambda^*M$, коммутирующие с внешним дифференциалом и совпадающие на (гладких!) функциях.
2. Доказываем, что если 2 дифференцирования совпадают на функциях и коммутируют с дифференциалом, то они одинаковые.

[Metford]

Так. А коммутирование с внешним дифференциалом - это фактически и есть проверка формулы для 1-форм, да?