Построение действительных чисел и аксиома выбора

[maximav]

?? что-то мрачное? Виноват, если правильно догадываюсь.

[Aritaborian]

Да. Недавно исполнилось четыре года с тех пор, как его не стало.

[Someone]

maximav в сообщении #1171847 писал(а):

1. Указать место (глаголы и существительные) в постах maximav, где он занимается последовательностями/сечениями и показывает/доказывает/ищет/предполагает там использование AC.

К сожалению, последовательностями или сечениями всеминамисовершенноискреннеуважаемый maximav заниматься не желает. А вот найти АС очень настойчиво предполагает:

maximav в сообщении #1171422 писал(а):

С другой стороны, если мы еще только создаем числа в нашем привычном понимании выше, то плясать придется от континуума, а для введения отношения порядка на нем уже, понятное дело, без AC не обойтись.

maximav в сообщении #1171636 писал(а):

Я достаточно подробно разжевал и мои вопросы сводились к тому, что "не создается ли вещественный "наш" привычный континуум $\mathbb R$ с "нашим привычным" отношением $<$ и " нашей привычной" арифметикой +/-аналогичным способом как только что описано про целочисленную арифметику?" При этом надо вовлекать по полной программе AC (или нет?).

Это, кстати, после того, как уже не один раз сказали, что аксиома выбора не нужна, и что булеан к делу отношения не имеет.

Я напоминаю, что тема пока что находится в разделе "Помогите решить /разобраться (М)", и по правилам раздела Вы обязаны предъявить собственные попытки решения вопроса. В данном случае это означает, что Вы должны изложить здесь нужный фрагмент построения поля действительных чисел в каком-то конкретном варианте (например, с помощью сечений или с помощью последовательностей), и указать место, где, по вашему мнению, используется аксиома выбора.

Вы же ведёте себя в стиле типичного ниспровергателя в дискуссионном разделе.

-- Сб ноя 26, 2016 17:53:07 --

maximav в сообщении #1171847 писал(а):

Или вы считаете, что указать на книжку по истории математики, есть неотразимый аргумент.

Это Вы, видимо, считаете такую ссылку аргументом. Для меня это ссылка на источник информации.

[Anton_Peplov]

Я не мастак в этих ваших основаниях анализа, но мыслю следующим образом: нечто нельзя построить без аксиомы выбора, если и только если из факта существования нечта аксиому выбора можно вывести. Но аксиому, справедливую для любых множеств, очевидным образом нельзя вывести из факта существования одного $\mathbb R$. Как максимум, можно представить себе какой-нибудь локальный аналог теоремы Цермело, типа "на $\mathbb R$ существует полный порядок". Но тут умные люди говорят, что и это не верно, и я склонен им верить.

[Karan]

maximav, предупреждение за хамство.

-- 26.11.2016, 17:20 --

maximav, Вам неоднократно было сказано, что континуальная модель теории полного упорядоченного поля строится без использования AC. Это значит, что на $2^{\mathbb{N}}$ можно ввести порядок и операции так, что получится структура, удовлетворяющая всем аксиомам из Зорича. Как следствие, порядок на $\mathbb{R}$ не имеет никакого отношения к полному порядку, который существует по теореме Цермело. Потому что для первого аксиома выбора не нужна, а для второго - нужна.
Детали того, как делается построение, просты, но технически запутанны, и излагать Вам их на форуме никто не будет. Вы можете провести доказательство сами по следующей схеме:
1. Формализуете одну из стандартных конструкций действительных чисел как некоторое множество $\mathbb{R}$, определяете на нем операции и отношение порядка.
2. Доказываете континуальность носителя этой конструкции, устанавливая тем самым биекцию $f\colon 2^\mathbb{N} \to \mathbb{R}$.
3. Определяете операции и отношение порядка на $2^{\mathbb{N}}$ с помощью операций и порядка на $\mathbb{R}$ и функции $f$.
Для этого не требуется аксиома выбора.
Это достаточно простая задача для студента, посмотрите www.math.uni-konstanz.de/~krapp/Constru ... umbers.pdf по первому пункту.

В ваших дальнейших сообщениях в этой теме я ожидаю либо описание конкретных трудностей, которые у Вас возникли при этой работе, либо (если Вы считаете, что все неправильно поняли Ваш вопрос) повторную формулировку Вашего вопроса, и чтобы Вас в этот раз все поняли правильно, она должна быть аккуратной, с точным определением всех понятий и четким формальным вопросом.

[warlock66613]

Anton_Peplov в сообщении #1171880 писал(а):

Но тут умные люди говорят, что и это не верно

А вы не могли бы ткнуть, где они это говорят? Мне интересно, потому что я всегда думал, что не существует никакого способа вполне упорядочить континуум без аксиомы выбора.

[Someone]

warlock66613 в сообщении #1172302 писал(а):

я всегда думал, что не существует никакого способа вполне упорядочить континуум без аксиомы выбора.

Дык, Anton_Peplov именно это и говорит.

[Anton_Peplov]

Эм. Я не уверен, что выразил свою мысль достаточно точно. Я имел в виду вот что: сочетание невежества с необузданным воображением легко позволяет мне представить себе ситуацию, когда в любом построении $\mathbb R$ предполагается существование полного порядка на множестве каких-нибудь кракозябров, причем этот полный порядок невозможно ввести средствами $\mathrm{ZF}$. Однако "на множестве всех кракозябров существует полный порядок" - это еще не аксиома выбора, поскольку речь идет не о любом множестве, а конкретно о множестве всех кракозябров. Т.е. в этом гипотетическом случае для построения $\mathbb R$, хотя и недостаточна $\mathrm{ZF}$, но избыточна $\mathrm{ZFC}$, а достаточна уже $\mathrm{ZFC_{crack}}$, где $\mathrm{C_{crack}}$ - аксиома о наличии полного порядка на множестве всех кракозябров.
Однако же, насколько я понял замечания Someone, для построения $\mathbb R$ вполне хватает $\mathrm{ZF}$ и никаких дополнительных аксиом не требуется.

[grizzly]

Пожалуй, я повторю вопрос от warlock66613, поскольку не понял второй ответ на него до такой степени, что начал сомневаться в первом.

Прошу прокомментировать следующие утверждения.
1. АСВ -- аксиома счётного выбора -- равносильна утверждению, что любое счётное множество может быть вполне упорядочено.
2. Утверждение о том, что любое подмножество $\mathbb R$ может быть вполне упорядочено, равносильно общей АВ. Это означает, что нет какой-нибудь иерархии АВ (АСВ, А$\mathfrak c$В, А$2^\mathfrak c$В, ...) по аналогии с иерархией континуум-гипотез.

[Someone]

grizzly в сообщении #1172360 писал(а):

1. АСВ -- аксиома счётного выбора -- равносильна утверждению, что любое счётное множество может быть вполне упорядочено.

Нет. Любое счётное множество можно вполне упорядочить без аксиомы выбора. Поскольку для счётного множества по определению существует биекция на натуральный ряд. А натуральный ряд вполне упорядочен, и с помощью биекции мы можем перенести этот порядок на любое счётное множество.

grizzly в сообщении #1172360 писал(а):

2. Утверждение о том, что любое подмножество $\mathbb R$ может быть вполне упорядочено, равносильно общей АВ.

Нет. Особенно в свете того, что любое подмножество вполне упорядоченного множества также является вполне упорядоченным (с тем же отношением порядка, ограниченным на это подмножество).

grizzly в сообщении #1172360 писал(а):

Это означает, что нет какой-нибудь иерархии АВ (АСВ, А$\mathfrak c$В, А$2^\mathfrak c$В, ...) по аналогии с иерархией континуум-гипотез.

Возможна такая иерархия, и даже, по-моему, более богатая. Например, для счётного случая есть счётная аксиома выбора и аксиома зависимого выбора. Только сейчас, как мне кажется, (почти) никого это не интересует.

[grizzly]

Someone
Спасибо! За первый вопрос мне конечно стыдно, но зато он мне помог сформулировать второй. А вот по поводу второго у меня были неправильные иллюзии. Особенно глубоко мне это не нужно, но общее представление лучше иметь правильное, чем не.