Непрерывность траекторий винеровского процесса

[Gickle]

Доброго времени суток. Имеется следующая задача:

Определим винеровский процесс как марковский процесс с вероятностью перехода:

$p_2 (x, t + dt| z , t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi dt}} \exp\left({-\frac{(x - z)^2}{2 dt}}\right)$

Требуется показать, что траектории винеровского процесса, определённого таким образом, являются непрерывными. Далее сказано, что для этого нужно показать, что

$ \frac{1}{d t}\int_{|x - z| > \varepsilon} d x \, p_2 (x, t + dt| z , t) \xrightarrow{d t \to 0 } 0$

для всякого $\varepsilon > 0$.

Мне не очень понятна, если честно, такая формулировка непрерывности траектории. К чему здесь $\frac{1}{d t}$? Мне представлялось, что должно быть что-то в духе того, что при $d t \to 0$ вероятность перехода должна стремится к $\delta$-функционной. Как вообще можно по-человечески (ну, то есть в контексте физики) определить непрерывность траекторий случайных процессов? Я пытался найти ответ в книгах C.W. Gardiner: "Handbook of Stochastic Mechanics", H. Risken: "Fokker-Planck equation", В.Е. Гмурмана: "Теория вероятностей и математическая статистика", Б.В. Гнеденко: "Курс теории вероятностей" и др. У Gardiner встречается непрерывность именно в такой форме, но вводится оно примерно так: "... it can be shown that...", после чего идёт ссылка на книгу I.F. Gikhman, A.V. Skorohod: "The Theory of Stochastic Processes", которую мне в открытом доступе найти не удалось.

К слову, вот для определённого так винеровского процесса можно ли доказать непрерывность в таком виде, пользуясь тем, что в пределе $d t \to 0$ вероятность перехода стремится к $\delta (x - z)$? Или надо как-то аккуратнее действовать: например, разложить $p_2 (x, t + dt| z , t)$ по $dt$ (хотя это ведь то же самое даст, по сути?).

Заранее спасибо за помощь.

P.S. Извиняюсь, если где-то неточно выражаюсь. Знаю, что винеровский процесс в математике обычно не так вводится вроде, что перед "траектории являются непрерывными" тут нужно какие-то магические слова добавлять в духе "почти наверняка" или "почти все", да и то, что гауссово распределение в пределе $\delta$-функция, не совсем корректно. Но это из физики задача, так что вот так.

[dsge]

Gickle в сообщении #1172227 писал(а):

Далее сказано, что для этого нужно показать, что
$\int_{|x - z| > \varepsilon} d x \, p_2 (x, t + dt| z , t) \xrightarrow{d t \to 0 } 0$
для всякого $\varepsilon > 0$.
Мне не очень понятна, если честно, такая формулировка непрерывности траектории. К чему здесь $\frac{1}{d t}$?

Вероятность того, что процесс, находящийся в т. $z$ в момент $t$, будет дальше от этой точки, чем на расстоянии $\varepsilon$ в близкий момент времени $t+ dt$, будет очень мала, и стремится к нулю, если $d t \to 0$.
А как определяется непрерывность для простых функций?

Gickle в сообщении #1172227 писал(а):

I.F. Gikhman, A.V. Skorohod: "The Theory of Stochastic Processes", которую мне в открытом доступе найти не удалось.

Это есть на русском.

[Gickle]

dsge
Ой, прошу прощения. Как раз с такой формулировкой я согласен, но там ещё множитель $\frac{1}{d t}$ стоит (поправил в исходном сообщении). Откуда вот он берётся?

dsge в сообщении #1172233 писал(а):

Это есть на русском.

Знаю, но в своё время на оригинал наткнулся, так и читаю его теперь.

[dsge]

Gickle в сообщении #1172236 писал(а):

но там ещё множитель $\frac{1}{d t}$ стоит

$d t$ - это дисперсия нормального распределения.

[Brukvalub]

Gickle в сообщении #1172236 писал(а):

Знаю, но в своё время на оригинал наткнулся, так и читаю его теперь.

Оригинал-то как раз был на Великом и Могучем! Или этот, или этот.

[Gickle]

Brukvalub
Ой, что-то я совсем рассеянный сегодня. Мне показалось, что речь о книге Гардинера, она просто тоже на русском языке доступна. :) А за ссылку на книгу Гихмана огромное вам спасибо!

dsge
Так, вот ещё раз. Вот у нас есть траектория $x(t)$. Если бы это была обычная функция, то непрерывность функции в точке $t$ означала бы

$|x(t + dt) - x(t)| \to 0$ при $dt \to 0$

Теперь у нас случайный процесс, то есть в каждой точке $t$ величина $x(t)$ является случайной. Тогда мы говорим, что мы будем называть траекторию случайного процесса непрерывной, если

$|M x(t + dt) - M x(t)| \to 0$ при $dt \to 0$

Короче, иными словами, математическое ожидание в этой точке непрерывным должно быть. Что, по сути, значит, что

$|M dx (t)| \to 0$ при $dt \to 0$

Отсюда как раз выползает:

$\int_{|x - z| > \varepsilon} d x \, p_2 (x, t + dt| z , t) \xrightarrow{d t \to 0 } 0$

Но откуда берётся множитель $\frac{1}{d t}$? Ваш комментарий по поводу того, что в данном случае $d t $ - это дисперсия, я понял, но не осознал, что это значит для определения непрерывности. Не могли бы поподробнее разъяснить, как правильно ввести понятие непрерывности для случайной функции и как перейти к тому, что предлагается в задании?

[dsge]

Gickle в сообщении #1172286 писал(а):

Теперь у нас случайный процесс, то есть в каждой точке $t$ величина $x(t)$ является случайной. Тогда мы говорим, что мы будем называть траекторию случайного процесса непрерывной, если
$|M x(t + dt) - M x(t)| \to 0$ при $dt \to 0$
Короче, иными словами, математическое ожидание в этой точке непрерывным должно быть. Что, по сути, значит, что
$|M dx (t)| \to 0$ при $dt \to 0$
Отсюда как раз выползает:
$\int_{|x - z| > \varepsilon} d x \, p_2 (x, t + dt| z , t) \xrightarrow{d t \to 0 } 0$

Нет, непрерывность в среднем и непрерывность с вероятность 1 - это разные вещи. Т.е. процесс будет непрерывен с вероятностью единица, но возможны и разрывные траектории, но их вероятность (мера) будет нуль.

Gickle в сообщении #1172286 писал(а):

Но откуда берётся множитель $\frac{1}{d t}$?

Так определяется ваш процесс. К чему будет стремиться функция плотности нормального распределения, если его дисперсия стремиться к нулю?

[Gickle]

dsge в сообщении #1172289 писал(а):

Нет, непрерывность в среднем и непрерывность с вероятность 1 - это разные вещи. Т.е. процесс будет непрерывен с вероятностью единица, но возможны и разрывные траектории, но их вероятность (мера) будет нуль.

То есть именно что траектория будет "почти наверняка" непрерывна.

dsge в сообщении #1172289 писал(а):

Так определяется ваш процесс. К чему будет стремиться функция плотности нормального распределения, если его дисперсия стремиться к нулю?

К дельта-функции. Вот этим я, к слову, и хочу воспользоваться. Сказать, мол, что у нас

$p_2(x, t + dt| z, t) \to \delta (x - z)$ при $\dt \to 0$,

откуда и получим, что надо.

Или это какой-то крайне неаккуратный способ?

В общем, надо будет ещё к преподавателю подойти, потому что мне пока что всё равно до конца не очевидно, что записанное определение непрерывности является математической формой "траектория почти наверняка является непрерывной".

[Brukvalub]

Gickle в сообщении #1172293 писал(а):

Или это какой-то крайне неаккуратный способ?

В таком виде это обычное "рукомахание" Но все можно сделать аккуратно, если применить понятие $\delta$-образного семейства (про них можно почитать в учебнике Зорича Математический анализ, т. 2)