Производная отображения в дифференциальной геометрии

[Hasek]

Не уверен в правильности своего понимания этой задачи. Производная отображения -- это отображение между касательными пространствами в соответствующих точках -- если $f\colon M_1 \to M_2$, то $f'(a)\colon T_a M_1 \to T_{f(a)} M_2$.

Давайте разберёмся для $L_A(X)$ сначала. Касательное пространство к $GL(n, \mathbb{R})$ в любой точке $X$ представляет собой пространство всевозможных $(n \times n)$-матриц $Mat(n, \mathbb{R})$, которое можно отождествить с $\mathbb{R}^{n^2}$. Значит производная отображения является оператором, действующим из $\mathbb{R}^{n^2}$ в $\mathbb{R}^{n^2}$, который можно записать некоторой матрицей. Но мне не понятно, как именно эта матрица устроена, хочется сказать, что это просто сама матрица $A$. Это так?

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1172188 писал(а):

хочется сказать, что это просто сама матрица $A$. Это так?

Странное желание. Ведь матрица линейного оператора имеет тот же размер, что и размерность линейного пространства, на котором действует оператор. Разве это будет выполняться при вашем предположении?

[Hasek]

Brukvalub в сообщении #1172193 писал(а):

Hasek в сообщении #1172188 писал(а):

хочется сказать, что это просто сама матрица $A$. Это так?

Странное желание. Ведь матрица линейного оператора имеет тот же размер, что и размерность линейного пространства, на котором действует оператор. Разве это будет выполняться при вашем предположении?

Не вижу проблемы, ведь $A$ -- $(n \times n)$-матрица из $GL(n, \mathbb{R})$, $\text{dim} (GL(n, \mathbb{R})) = n^2$.

[Brukvalub]

Давайте как в детском саду на почвенном факультете: если линейный оператор действует на двумерном векторном пространстве, то в базисе его матрица имеет размер $(2 \times 2)$, если линейный оператор действует на трехмерном векторном пространстве, то в базисе его матрица имеет размер $(3 \times 3)$... ,а если линейный оператор действует на $n^2$ -мерном векторном пространстве, то его матрица имеет размеры (впишите их по аналогии).

[Hasek]

Brukvalub в сообщении #1172209 писал(а):

Давайте как в детском саду на почвенном факультете: если линейный оператор действует на двумерном векторном пространстве, то в базисе его матрица имеет размер $(2 \times 2)$, если линейный оператор действует на трехмерном векторном пространстве, то в базисе его матрица имеет размер $(3 \times 3)$... ,а если линейный оператор действует на $n^2$ -мерном векторном пространстве, то его матрица имеет размеры (впишите их по аналогии).

Так, это действительно моя промашка -- имеет размеры $(n^2 \times n^2)$.

Как теперь записать эту матрицу в конкретном случае? Столбцы в матрице линейного оператора состоят из координат образов базисных векторов (во всяком случае я о матрице оператора думаю всегда так). Базисные векторы в касательном пространстве в точке $X \in GL(n, \mathbb{R})$ -- это $\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{2n}}$. Но как понять, какие координаты у их образов в точке $AX$?

[Brukvalub]

Hasek в сообщении #1172213 писал(а):

Базисные вектора в точке $X \in GL(n, \mathbb{R})$ -- это $\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{2n}}$

Снова "за рыбу деньги". Почему размерность касательного пр-ва не равна числу векторов базиса?

[Hasek]

Brukvalub в сообщении #1172214 писал(а):

Hasek в сообщении #1172213 писал(а):

Базисные вектора в точке $X \in GL(n, \mathbb{R})$ -- это $\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{2n}}$

Снова "за рыбу деньги". Почему размерность касательного пр-ва не равна числу векторов базиса?

Это уже просто опечатка: $\frac{\partial }{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_{n^2}}$, всего $n^2$.

[Brukvalub]

Ну, опечатка, так опечатка. Вот как получается матрица Якоби для конечномерных дифференцируемых отображений? Может, и здесь так надо?

[Hasek]

В общем, по состоянию на данный момент мне непонятно, как найти координаты базиса в $T_X GL$ в разложении по базису $T_{AX} GL$ (ведь это необходимо для записи матрицы оператора, да?). Если $p\colon TM \to M$ и $Z\colon M \to TM$, то образ базисного вектора в другой точке можно записать как $Z(f(p(\frac{\partial}{\partial x_i})))$, но как-то сомнительно, что здесь надо привлекать такие "лишние сущности" как векторное поле и проекция с касательного пространства на многообразие.

-- 27.11.2016, 18:17 --

Brukvalub в сообщении #1172217 писал(а):

Ну, опечатка, так опечатка. Вот как получается матрица Якоби для конечномерных дифференцируемых отображений? Может, и здесь так надо?

Давайте пока в общем виде, если правильно, следующим шагом для конкретного отображения $L_A$. Пусть $x_1, \ldots, x_{n^2}$ -- локальные координаты на многообразии в точке $X$, а $f = (f_1(x_1,\ldots,x_{n^2}), \ldots, f_{n^2}(x_1, \ldots, x_{n^2}))$. Тогда искомая матрица записывается просто как $\begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} && \cdots && \frac{\partial f_1}{\partial x_{n^2}}\\ \vdots && \cdots && \vdots\\ \frac{\partial f_{n^2}}{\partial x_1} && \cdots && \frac{\partial f_{n^2}}{\partial x_{n^2}}\end{pmatrix}$?

[Brukvalub]

Да.

[Hasek]

Тогда в матрице оператора $L'_A$ элемент, стоящий на пересечении $i$-й строки и $j$-го столбца, имеет вид $\frac{\partial (\sum_{k} A_{ik}X_{kj})_i}{\partial x_j}$?

[Brukvalub]

Может, чтобы осмыслить ситуацию, вам будет полезно Зорича полистать? Он неплохо объясняет, как работать с производными дифференцируемых отображений. Дальше можно рассуждать по аналогии.