параметризованный тригонометрический интеграл

[den385]

Здравствуйте! Решаю такую задачу. Упростить удалось, но как чётко доказать $I_m \neq 0$ пока не придумал.

Пусть $I_m = \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \cos(2x) \ldots \cos(mx) dx $

Для каких $m \in [1, 10]$ $I_m \neq 0$ ?

В решении использовал симметрию функций относительно $x = \pi$ и симметрию / кососимметрию функций относительно $x = \frac \pi 2$

Получилось, что при m \in \{1, 2, 5, 6, 9, 10\} I_m = 0, при остальных \int_{0}^{2\pi} f(x) dx = 4 \int_{0}^{\frac \pi 2} f(x) dx. На $[0, \frac \pi 2]$ функции несимметричны, интуитивно кажется что интеграл ненулевой, но как доказать - пока не придумал. Буду благодарен за подсказку идеи.

[Markiyan Hirnyk]

Применим Мэйпл (Pi - это пи):

for m to 10 do int(mul(cos(j*x), j = 1 .. m), x = 0 .. 2*Pi) end do;
                               0 0 Pi/2 Pi/4 0 0 Pi/8 7*Pi/64 0 0             
 

[den385]

Спасибо!

Но как это сделать без Мэйпла, руками? И без прямого подсчёта, задача не предполагает ни программирование, ни подсчёт.

[Markiyan Hirnyk]

С какой целью? Кстати, ответ должен быть изложен на папирусе или пергамент тоже допустим?

[Lia]

Markiyan Hirnyk
Вас неоднократно просили не злоупотреблять и не ссылаться как на решения на результаты, предоставляемые программными продуктами, в Олимпиадном разделе и в ПРР, в случаях, когда задача явно рассчитана на аналитическое решение. Предупреждение за игнорирование требований модераторов.

[DeBill]

den385
Можно попробовать переработать произведения косинусов в сумму косинусов. Громоздко, конечно, но...
Типа: (для 7) после переработки таким образом всех косинусов, получится сумма косинусов с аргументами $x\cdot (1\pm 2\pm 3 ...\pm 7)$. И вопрос - такой: может ли получиться нулевой аргумент? Нет - интеграл нулевой, да - ненулевой.
Например, как бы решалась задача для 9: там нечетное число нечетных чисел - значит, 0 не получится, так что интеграл равен нулю....
Т.е., задача стала комбинаторной: сколько способов разложить гирьки $1,2,...n$ на две равные по весу кучки (1 - налево)?
Тогда интеграл равен $\frac{2\pi}{2^{n-1}}\cdot$(кол-во способов)

[mihiv]

Можно перейти к интегралу по контуру: $|z|=1, z=e^{ix}$.

[den385]

DeBill
Спасибо! Здорово!

mihiv
Спасибо! Получается, к тому же сводится по сути, но форма записи будет проще.