Анализ бифуркационной кривой модели эпидемии

[Gickle]

День добрый, начну издалека. Имеется задача из нелинейной динамики. Итак, дана система уравнений, моделирующая процесс возникновения эпидемии:

$\begin{cases} \dot{x} = - k x y\\ \dot{y} = k x y - l y\\ \dot{z} = l y \end{cases}$

Здесь $k$ и $l$ - некоторые параметры, а также мы полагаем, что $y_0 > 0$, $z_0 = 0$.

Можно показать, что эффективно число степеней свободы сводится к одной единственной. Уравнение при этом:

$\dot{u} = a - b u - e^{-u}$,
где используется обезразмеренное время $\displaystyle \tau = k x_0 t$, $u = \displaystyle\frac{k z}{l}$, $b = \displaystyle\frac{l}{k x_0}$, $a = \displaystyle\frac{N}{x_0}$; $N = x + y + z$ - интеграл движения.

Можно опять же показать, что $a \leq 1$, $b > 0$.

Теперь ищем точки покоя системы. Это приводит нас к следующему трансцендентному уравнению:

$a - b u - e^{-u} = 0$

Поянтно, что в зависимости от $a$ и $b$ у системы может быть 0, 1 или 2 точки покоя. То есть налицо бифуркация, причём тип очевиден - "saddle-node". "Переломный момент" наступает, когда прямая $a - b u$ касается кривой $e^{-u}$. Таким образом, мы приходим к системе, определяющей бифуркационную кривую:

$\begin{cases} a - b u = e^{-u}\\ b = e^{-u}\\ \end{cases}$

Откуда

$a = b (1 - \ln b) $

Строим этого красавца:



По идее, эта кривая должна разбивать всю область на случаи: 0, 1 и 2 точки покоя. Теперь зафиксируем некоторое значение $a$ (разумеется, в пределах $0 < a < 1$). Движемся справа налево: при большом значении $b$ точек покоя не будет вообще - прямая идёт слишком круто. Затем в некотором $b_1^{*}$ произойдет касание (одна точка покоя), а потом пойдёт область с двумя точками покоя. Казалось бы, на этом всё. Но из графика видно, что в некоторой точке $b_2^{*}$ должно опять что-то произойти. Но ведь дальше, сколько ни изменяй $b$, всё равно в двух точках кривые пересекаться будут. Что я не так делаю?

Кроме того, в задании дальше идёт намёк о том, что $b = 1$ является порогом для эпидемии. Пока что это никак не проявляется, по-моему.

P.S. Извиняюсь, что так издалека зашёл по такому пустяковому вопросу.

[dsge]

Непонятно какое отношение текст под графиком имеет к графику.
То что область параметров разделяется на подобласти с эквивалентными фазовыми портретами - в этом ничего удивительного нет.

[Gickle]

dsge
Из графика следует, что при заданном $a$ существует два значения $b$, при которых произойдёт касание прямой $a - b u$ и кривой $e^{-u}$. Я не могу понять этого. Мне почему-то казалось (и до сих пор кажется), что при заданном $a$ должно быть только одно значение $b$, при котором кривые коснутся. Для всех остальных же $b$ либо не будет пересечения вообще, либо сразу в двух точках. Можете, пожалуйста, ткнуть носом. где я дурак?

[dsge]

При заданном 0<$a<1$ существуют две касательные к экспоненте - одна к правой ветви, другая к левой.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Кстати, а кто-нибудь сравнивал для подобных задач результаты континуального и дискретно-вероятностного подходов?

[dsge]

(Оффтоп)

Дискретное и континуальное - это две большие разности для нелинейных задач, даже в 1-мерном случае.
Ср. $\dot{x}=\lambda x (1-x)$ and
$x_{t+1}=\lambda x_t (1-x_t)$
1-е интегрируемо, а второе непросто.

[DeBill]

Видимо, в задаче $x$ - количество здоровых, $y$ - носителей вируса, $z$ - больных.
Мы смотрим на поведение системы в случае, когда $a<1$, т.е., когда вначале всех людей меньше чем здоровых. Зафиксируем долю здоровых (в начальный момент) $\frac{1}{a}$ (больных - нет, носителей - отрицательное количество).
Видим: количество здоровых стремительно растет (как и кол-во носителей), больные быстро уходят на минус бесконечность.
Теперь будем понижать смертоностность болезни $k$ (т.е., увеличивать $b$). Произойдет бифуркация: возникнет устойчивая конфигурация с (отрицательным) количеством больных.
Аналогичное происходит при повышении смертоностности - но уже с положительным количеством больных в качестве устойчивого состояния. Тут , правда, надо быть осторожным: чуть неудачно выберем начальное кол-во больных - и опять больные трупы неограниченно размножатся (именно так и будет, если изначально больных нет)....

[Утундрий]

DeBill в сообщении #1171701 писал(а):

Видимо, в задаче $x$ - количество здоровых, $y$ - носителей вируса, $z$ - больных.

Скорей, здоровых, больных и переболевших.

И потом, Вас не посещала мысль, что в этой задаче всякие отрицательные значения мало кому интересны?

(Оффтоп)

dsge
Я имел в виду не столь прямолинейную дискретизацию Возьмём $N$ белых шаров. Покрасим часть в красный цвет и начнём на каждом шаге выуживать случайные пары и красно-докрашивать. Этим мы промоделируем множитель $x y$. Добавим ещё всякому свежевыкрашенному постепеннь обнуляющийся счётчик, по обнулении коего красный становится зелёным и в дальнейшей взаимной покраске не участвует. $N$ можно взять побольше, а потом всё это дело нормировать, аппроксимировать, продифференцировать и посмотреть - какой непрерывной модели эти эволюции эквивалентны.

[dsge]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1171835 писал(а):

Я имел в виду не столь прямолинейную дискретизацию

Существуют теоремы диффузионной аппроксимации о том, как сходятся дискретные случайные процессы к диффузионным (Гихман-Скороход, Кушнер). Однако, в вашем случае трудно, так сходу, сказать будут ли красные шары сходиться к доле больных гонореей.

[DeBill]

Утундрий в сообщении #1171835 писал(а):

Скорей, здоровых, больных и переболевших.

Ну да, конечно. Или - умерших....

Утундрий в сообщении #1171835 писал(а):

И потом, Вас не посещала мысль, что в этой задаче всякие отрицательные значения мало кому интересны?

Ну, вообще , именно на это я и хотел указать
Потому как условие $a<1$ в точности и означает отрицательное количество больных в начальный момент времени.
А при $a>1$ никакой бифуркации и нету...

-- 26.11.2016, 19:35 --

Вообще, из первых двух ур-й находим сразу $y = N -x -\frac{l}{k}\ln\frac{x}{x_0}$. Так что $y$ стремится к нулю, а $x$ к меньшему корню уравнения
$0 = N -x -\frac{l}{k}\ln\frac{x}{x_0}$.
Т.е., все нормально: обчество благополучно выздоравливает. Но часть народа вымрет....