Интеграл от бесселевой функции

[rose8mimi]

Необходимо найти интеграл

$$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{e^{k(z-h)}I_0(k\rho)}{kg-\sigma^2}dk$$

Он был получен из разных преобразований для волновой задачи.
Здесь
$I_0$ - функция Бесселя
решается все в сферических координатах $(\rho,\theta,z)$
$\sigma$ - частота
$h$ - высота, на которой расположен источник
$g$ - ускорение свободного падения (9,8)
$k$ - некоторая переменная

Опробованы следующие способы:
1) Применение теории вычетов

$$\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{e^{k(z-h)}I_0(k\rho)}{kg-\sigma^2}dk= \frac{1}{g}\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{e^{k(z-h)}I_0(k\rho)}{k-\frac{\sigma^2}{g}}dk= \left\lvert \begin{array}{rcl} k=e^y ; y=\ln k \\ k=0 \to y=-\infty \\ k=+\infty \to y=+\infty \\ \end{array} \right\rvert = \int\limits_{+\infty}^{-\infty}\frac{e^{(z-h)e^y}I_0(e^y\rho)}{e^y-\frac{\sigma^2}{g}}dy=$$

$$= 2\pi \frac{e^{\frac {\sigma^2(z-h)} {g} } I_0(\frac{\sigma^2\rho}{g})}{{\frac{\sigma^2}{g}}} = 2\pi \frac{g e^{\frac {\sigma^2(z-h)} {g} } I_0(\frac{\sigma^2\rho}{g})}{\sigma^2}$$

Здесь возникают вопросы: Можно ли при переходе оставить $I_0$? или нужно переходить к функции Ханкеля $H_0$?

2) Разложила все функции в ряд(чтобы исследовать на сходимость, т.к. идей как исследовать интеграл на сходимость толковых не пришло)
и получено

$$\sum\limits_{0}^{+\infty}\frac{k^{4i} (-1)^i \rho^{2i} g^i (z-h)^i}{2^{2i} (!i)^3 \sigma^{2i}}$$

Здесь были опробованы признаки Лейбница и Даламбера, но из-за переменных $\rho, z, k$ нельзя сказать ничего определенного о дроби $\Rightarrow$ ничего.

[sergei1961]

Интеграл как человеческий интеграл расходится, знаменатель может обращаться в ноль. Или надо сказать, как он понимается по нечеловечески. В ряде где факториал?

[rose8mimi]

sergei1961 в сообщении #1170796 писал(а):

Интеграл как человеческий интеграл расходится, знаменатель может обращаться в ноль. Или надо сказать, как он понимается по нечеловечески. В ряде где факториал?

Человеческий? эм. Это как сарказм над интегралом?!
Значит расходится...

В знаменателе факториал же есть $(i!)^3$

[sergei1961]

Человеческий-это строго по определению интеграла. Но есть и разные обобщённые определения, если у Вас так, то от этого зависит ответ. Факториал в формуле не на месте, надо поправить, а не отговариваться.