Доказательство ВТФ для 4-й степени.

[TPB]

Несмотря на то, что моя прежняя тема закрыта, я знаю, что осталось немало желающих понять доказательство для 4-й степени. С разрешения начальства, я имею право приводить здесь это доказательство, с условием того, что покажу причину, по которой универсальные формулы разложения не позволяют доказать ВТФ для 3-й степени. Конечно же, я покажу всё это в дальнейшем - в этом нет абсолютно никаких проблем!
Я считаю, что найденные мной математические истины не должны быть преданы забвению или заживо похоронены. Скрывая истинные знания, мы, тем самым, топчемся на месте и не делаем прогресса в своём развитии. Но математика - царица наук! Именно из любви к математике и уважения к желающим понять моё элементарное доказательство, я решил повторить попытку донести истинные математические знания к умам всех желающих их понять.
Перед тем, как перейти непосредственно к самому доказательству, я хотел бы совместно с Вами уяснить некоторые очевидные утверждения, касающиеся бинома Ньютона для 4-й степени.
В формуле $(a + b)^4 = a^4 + 4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4$
$a$ и $b$ - какие-то два целых числа.
Без первого слагаемого в правой части равенства находится число
$4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4$, делящееся на целое число $b$.
При этом нам всё равно, какое значение принимает число $a$, поскольку число $b$ выносится за скобки без вовлечения в это вынесение числа $a$:
$4 a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4 = b (4 a^3 + 6 a^2 b + 4 a b^2 + b^3)$.
Если кто не согласен с этим утверждением, пишите, задавайте вопросы!

[Someone]

TPB в сообщении #1169942 писал(а):

Если кто не согласен с этим утверждением, пишите, задавайте вопросы!

Вы здесь обращаетесь к шестиклассникам? Давайте предположим, что базовые операции, такие, как вынесение общего множителя за скобки, разложение многочлена на множители и использование формул сокращённого умножения всем известно, поэтому не опускайтесь до таких деталей. Но доказательство излагайте небольшими порциями.

[TPB]

Докажем, что уравнению (1) при $n = 4$ не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа $X$, $Y$ и $Z$.
Для этого допустим, что такие три целых положительных числа $X$, $Y$ и $Z$ существуют, и воспользуемся одной из универсальных формул разложения - второй формулой для разложения суммы двух чисел в одинаковых чётных положительных степенях (11):
$Z^4 = X^4 + Y^4 = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^2 X Y + 2 X^2 Y^2 = (X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ (14)
Поскольку любое целое число в четвёртой степени одновременно является целым числом в квадрате, то, как и для второй степени, в этой формуле числа $X$ и $Y$ должны иметь разную чётность, а число $Z$ – должно быть нечётным. К тому же будем считать, что все три числа $X$, $Y$ и $Z$ попарно не имеют общих делителей, иными словами – они взаимно просты. Действительно, если бы они не были взаимно простыми, то, поделив их на общий делитель, все три числа $X$, $Y$ и $Z$ стали бы взаимно простыми.
Теперь заметим, что в правой части равенства (14) содержится уже готовое число в четвёртой степени: $(X-Y)^4$, а то выражение, что к нему прибавляется, является дополнением до величины числа $Z^4$. При этом нечётное число $(X-Y)$ дополняется до нечётного числа $Z$ путём добавления некоторого чётного числа $r$.
Если воспользоваться формулой бинома Ньютона (8), то для равенства $Z = (X-Y + r)$ число $Z$ в четвёртой степени запишется в виде:
$Z^4 = (X-Y + r)^4 = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^3 r + 6 (X-Y)^2 r^2 + 4 (X-Y) r^3 + r^4$,
откуда видно, что каждое слагаемое в правой части этого равенства, кроме первого, делится на число $r$, поэтому число $r$ в качестве единственного общего множителя можно вынести за скобки:
$Z^4 = (X-Y + r)^4 = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ (15)
Сравнивая имеющееся у нас равенство (14) с равенством (15), которые показывают, каким должно быть число $Z^4$, замечаем, что в исходном равенстве (14) выражение $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ является тем же дополнением числа $(X-Y)^4$ до некоторого большего числа в четвёртой степени $Z^4$, что и выражение:
$r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ в равенстве (15).
Приравняем правые части равенств (14) и (15), и получим следующее равенство: $(X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$,
или, без первых слагаемых $(X-Y)^4$:
$X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ (16)
Заметим, что поскольку числа $X$ и $Y$ не имеют общих делителей, то, следовательно, числа $X Y$ и $(X-Y)$ являются взаимно простыми. Взаимно простыми также будут числа $(X-Y)^4$ и $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$, а значит, и числа $(X-Y)^4$ и $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$.
Поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое в качестве единственного общего множителя выносится за скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ без вовлечения в это вынесение числа
$(X-Y)^3$, то оно точно не является целым делителем числа
$(4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$, так как число $(X-Y)^2$ не может быть вовлечено в вынесение этого целого делителя, и поэтому число $r$ обязано быть либо равно числу $X Y$, либо быть одним из его делителей, и вместе с тем, как и число $X Y$, быть взаимно простым с числом $(X-Y)$.

-- 18.11.2016, 21:51 --

В том случае, если число $r$ равно числу $X Y$, мы, заменяя число $X Y$ на $r$, получаем равенство:
$(X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^2 + 2 r) = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^3 r + 6 (X-Y)^2 r^2 + 4 (X-Y) r^3 + r^4$,
или, после сокращения, имеем следующее равенство:
$4 (X-Y)^2 + 2 r = 4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3$ (17)
Очевидно, что при целых положительных числах $(X-Y)$ и $r$, равенство (17) никогда не может быть справедливо, так как его левая часть всегда будет меньше правой. Это означает, что число $X Y$ на самом деле больше, чем число $r$. И поэтому число $r$ должно быть лишь одним из делителей числа $X Y$.

[Brukvalub]

TPB в сообщении #1169960 писал(а):

Поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое в качестве единственного общего множителя выносится за скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ без вовлечения в это вынесение числа
$(X-Y)^3$, то оно точно не является целым делителем числа
$(4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$

Это не доказательство, а рукомахание.

[TPB]

Brukvalub в сообщении #1169969 писал(а):

Это не доказательство

Тут важно понять, что $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ и $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ - это одно и то же число!
Поэтому, если число $r$ выносится за скобки без вовлечение в это вынесение первого числа $(X-Y)$, то оно обязательно также должно выноситься за скобки из числа $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ без вовлечение в это вынесение первого числа $(X-Y)$.

-- 18.11.2016, 23:04 --

Значит, можно записать, что $X Y = r X_1 Y_1$, где $X_1 Y_1$ – некий целый делитель числа $X Y$. После такой замены получим равенство (16) в следующем виде:
$r X_1 Y_1 (4 (X-Y)^2 + 2 r X_1 Y_1) = r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ (18)
или, после сокращения левой и правой частей равенства (18) на $r$:
$X_1 Y_1 (4 (X-Y)^2 + 2 r X_1 Y_1) = 4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3$ (19)
из которого видно, что у всей правой части этого равенства, как и у его левой части, должен быть общий целый делитель $X_1 Y_1$.
Заметим, что для существования целого делителя $X_1 Y_1$ необходимо, чтобы целое число $r$, так же, как и число $(X-Y)$, не являлось целым делителем числа $X_1 Y_1$, иначе сумма всех слагаемых выражения $(4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ не сможет нацело поделиться на число $X_1 Y_1$, так как все слагаемые этого выражения, кроме первого, делятся на число $r$, и, кроме последнего, делятся на число $(X-Y)$.
Поэтому для одновременного существования двух целых чисел $r$ и $X_1 Y_1$ необходимо, чтобы они между собой были взаимно простыми.

[Brukvalub]

TPB в сообщении #1169984 писал(а):

Поэтому, если число $r$ выносится за скобки без вовлечение в это вынесение первого числа $(X-Y)$, то оно обязательно также должно выноситься за скобки из числа $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ без вовлечение в это вынесение первого числа $(X-Y)$.

-- 18.11.2016, 23:04 --

Значит, можно записать, что $X Y = r X_1 Y_1$, где $X_1 Y_1$ – некий целый делитель числа $X Y$.

Нет, число $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ - четное, поэтому $r$ может быть, например, степенью двойки.

[TPB]

Brukvalub в сообщении #1169987 писал(а):

Нет, число $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ - четное, поэтому $r$ может быть, например, степенью двойки.

Число $r$ может быть каким угодно чётным числом.

[Someone]

TPB в сообщении #1169960 писал(а):

Поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое в качестве единственного общего множителя выносится за скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$

Где мы это допускаем? В вашем тексте выше нигде не сказано "допустим, что…", кроме второй фразы второго вашего сообщения, в которой речь идёт совсем о другом.
Будьте внимательны и не путайте допущения с доказанными утверждениями.

TPB в сообщении #1169960 писал(а):

$4 (X-Y)^2 + 2 r = 4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3$ (17)
Очевидно, что при целых положительных числах $(X-Y)$ и $r$, равенство (17) никогда не может быть справедливо, так как его левая часть всегда будет меньше правой.

Для положительных $X-Y$ и $r$ это, может быть, и верно, но я не вижу причины, по которой разность $X-Y$ обязана быть положительной. Почему бы ей не оказаться отрицательной? Поэтому утверждение

TPB в сообщении #1169960 писал(а):

число $X Y$ на самом деле больше, чем число $r$

не доказано. Более того, я не вижу, почему бы не оказаться $r=2XY$, поскольку $XY(4(X-Y)^2+2XY)=2XY(2(X-Y)^2+XY)$.

Пока это место не исправлено, дальше двигаться нельзя. В частности, не вижу смысла комментировать тот кусок, который Вы выложили, пока я писал это сообщение.

TPB в сообщении #1169942 писал(а):

я знаю, что осталось немало желающих понять доказательство для 4-й степени

Не наблюдал толпы желающих. Лично я прочёл (давно уже) доказательство для четвёртой степени в книге М. М. Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел" и вполне его понял. А вообще, в этот раздел форума большинство посетителей ходят как в цирк.

TPB в сообщении #1169942 писал(а):

С разрешения начальства, я имею право приводить здесь это доказательство

Это какое начальство разрешило Вам продолжать закрытую тему?

[TPB]

Someone в сообщении #1169993 писал(а):

TPB в сообщении #1169960

писал(а):
Поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое в качестве единственного общего множителя выносится за скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2 r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ Где мы это допускаем? В вашем тексте выше нигде не сказано "допустим, что…", кроме второй фразы второго вашего сообщения, в которой речь идёт совсем о другом.
Будьте внимательны и не путайте допущения с доказанными утверждениями.

Когда я писал: "При этом нечётное число $(X-Y)$ дополняется до нечётного числа $Z$ путём добавления некоторого чётного числа $r$", я допускал, что существует целое чётное число $r$.

Someone: "Для положительных $X-Y$ и $r$ это, может быть, и верно, но я не вижу причины, по которой разность $X-Y$ обязана быть положительной. Почему бы ей не оказаться отрицательной?"

В равенстве: $Z^4 = X^4 + Y^4 = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^2 X Y + 2 X^2 Y^2 = (X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ (14)
числа$X$ и $Y$ совершенно равноправны. И если $Y>X$, то мы в праве поменять их местами так, чтобы разница $X-Y$ стала положительной.

Поэтому утверждение:
число $X Y$ на самом деле больше, чем число $r$ доказано равенством (17).

Someone: "Не наблюдал толпы желающих. Лично я прочёл (давно уже) доказательство для четвёртой степени в книге М. М. Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел" и вполне его понял. А вообще, в этот раздел форума большинство посетителей ходят как в цирк."

Здесь ведь речь не идёт только о 4-й степени. Это лишь фрагмент более общего доказательства, которое Вы нигде не прочтёте.
А насчёт посетителей, то если они этим интересуются, значит есть спрос на новые знания!

Someone: "Это какое начальство разрешило Вам продолжать закрытую тему?"

Jnrty писал(а): "Если по какой-то причине ваши рассуждения в случае третьей степени не проходят, излагайте их для наименьшей степени, для которой они годятся, с точным указанием места, где возникает препятствие в случае третьей степени".

[Someone]

TPB в сообщении #1169996 писал(а):

Когда я писал: "При этом нечётное число $(X-Y)$ дополняется до нечётного числа $Z$ путём добавления некоторого чётного числа $r$", я допускал, что существует целое чётное число $r$.

Значит, Вы не понимаете, что делаете. На самом деле здесь ничего не "предполагается", а просто определяется $r=Z-(X-Y)$.

TPB в сообщении #1169996 писал(а):

В равенстве: $Z^4=X^4+Y^4=(X-Y)^4+4(X-Y)^2XY+2X^2Y^2=(X-Y)^4+XY(4(X-Y)^2+2XY)$ (14)
числа$X$ и $Y$ совершенно равноправны. И если $Y>X$, то мы в праве поменять их местами так, чтобы разница $X-Y$ стала положительной.

Здесь Вы можете. А в выражении $r(4(X-Y)^3+6(X-Y)^2r+4(X-Y)r^2+r^3)$ — нет, поскольку оно не симметрично относительно такой перестановки. Да и величина $r$ от этой перестановки меняется.

И не ясно, почему бы не быть $r=2XY$ или даже $r=4XY$: поскольку одно из чисел $X$ или $Y$ чётное, то

$$XY(4(X-Y)^2+2XY)=4XY\left((X-Y)^2+\frac{XY}2\right)$$

делится на $8$ ($XY$ — чётное, и выражение в скобках целое); аналогично, так как $r$ — чётное, то и

$$r(4(X-Y)^3+6(X-Y)^2r+4(X-Y)r^2+r^3)=$$

$$=4r\left((X-Y)^3+\frac{3r}2(X-Y)^2+r^2(X-Y)+\frac{r^3}4\right)$$

тоже делится на $8$.

[TPB]

Пока и эту тему не закрыли, я имею возможность обратиться к любителям математики, желающим понять моё элементарное доказательство.
Как Вы сами видите, я делаю в этом направлении всё, что могу!
Поэтому, если из-за непонимания или по какой-либо ещё другой причине эта тема будет закрыта, вопреки моему желанию, то хочу, чтобы Вы знали: у меня есть полное элементарное доказательство Великой теоремы Ферма для любой степени $n>3$. Оно несомненно верно, и более того, каждый желающий, пользуясь универсальными формулами разложения, может самостоятельно его повторить!

[Someone]

TPB в сообщении #1170004 писал(а):

обратиться к любителям математики, желающим понять моё элементарное доказательство

Пока вижу не доказательство, а элементарные рассуждения с пробелами уже на начальном этапе. Будете отвлекаться — тему точно закроют, она и так висит на волоске.

[TPB]

TPB в сообщении #1170004 писал(а):

Значит, Вы не понимаете, что делаете. На самом деле здесь ничего не "предполагается", а просто определяется $r=Z-(X-Y)$.

Когда я пишу "предполагается", то имею ввиду: "Допустим, что существует такое целое чётное число..., которое на самом деле (дальше мы это увидим) окажется нецелым".

В выражении (14) и (15) $X$ и $Y$ - это одни и те же числа. Поэтому их разница в любом случае - это положительное число. А число $r$ может быть только одним из делителей числа $X Y$. Я уже приводил этому доказательство (смотрите равенство (17)).
Если Вы мыслите дальше, то я могу продолжить доказательство в этом направлении.

[Jnrty]

Ну что же делать. Не понимаете своих ошибок — значит, не суждено.

Jnrty:

Стало быть, тему закрываю ввиду бессмысленности продолжения.
На всякий случай предупреждаю, что возобновление закрытой темы не разрешается.