Произведение векторного и скалярного произведений векторов

[arseniiv]

Munin в сообщении #1169445 писал(а):

Я бы записал немного в другом виде: $J=(r^2)\hat{E}-\mathbf{r}\otimes\mathbf{r},$

Вот, кстати, и неправильно, надо бы написать что-то вроде $\mathbf r\otimes\mathbf r^\flat$. $\mathbf r^\flat(\mathbf v) = \mathbf r\cdot\mathbf v$.

Давайте теперь с векторами поиграем:

$J\mathbf R ={}$

Ingus в сообщении #1169668 писал(а):

$r^2\mathbf{R}-(\mathbf{R}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}$

Остаётся ${}\times\mathbf R$:

$$r^2\mathbf R\times\mathbf R - (\mathbf R\cdot\mathbf r)(\mathbf r\times\mathbf R) = 0 + (\mathbf R\times\mathbf r)(\mathbf R\cdot\mathbf r) = \ldots$$

Происходящее полностью параллельно тому, что у amon выше.

P. S. А я бы расписал всё через внешнее произведение, а потом отказался возвращаться к векторному.

-- Чт ноя 17, 2016 18:02:17 --

Ingus в сообщении #1169677 писал(а):

Но остался вопрос, можно ли из двух звездочек получить одну звездочку, а не наоборот?

Как видно, надо уметь родить из нуля точно такое выражение, чтобы всё дальше свернулось. Это почти угадайка.

[Munin]

Ingus в сообщении #1169668 писал(а):

Чтобы тензор умножить на вектор

Вопрос не в том, чтобы умножать тензор, а в том, чтобы умножать тензор специального вида. Не все тензоры 2 ранга имеют вид $\mathbf{a}^\mathrm{T}\mathbf{b}.$

 Подсказка напрямую (уже нехорошая: фактически я делаю за вас вашу работу): 
$\mathbf{v}(\mathbf{a}^\mathrm{T}\mathbf{b})\mathbf{w}=(\mathbf{v}\cdot\mathbf{a})(\mathbf{b}\cdot\mathbf{w}).$

А, ну правильно, вы это уже и сделали.

amon
А, я не думал, что вы тоже используете представление правой части через разность. Ну тогда да.

[amon]

Ingus в сообщении #1169677 писал(а):

Но остался вопрос, можно ли из двух звездочек получить одну звездочку, а не наоборот?

Уже ответили, но повторю. "Естественный" вид матрицы $J$ это

$$ J=-r_ir_j=\begin{bmatrix}-x^2 & -xy & -xz \\ -xy & -y^2 & -yz \\ -xz &-yz & -z^2 \end{bmatrix}, $$

но в записи $(J\cdot\mathbf{R})\times\mathbf{R}$ эта матрица определена неоднозначно и к ней можно много чего прибавить так, что величина векторного произведения не изменится.

Munin в сообщении #1169723 писал(а):

А, я не думал, что вы тоже используете представление правой части через разность.

Если честно, то приведено "причесанное" решение, поскольку сначала я получил разные тензоры справа и слева, и только потом сообразил, что разность - тождественный ноль.

[Munin]

О, кстати! Кроме методов "привести левую часть к правой" и "привести правую часть к левой", действительно, есть хороший метод "вычесть правую и левую части, и привести разность к нулю".

[Утундрий]

(Оффтоп)

По этому поводу крайне изящно выразился Народъ: Нэ вмэр Даны́ло, та боля́чка задавы́ла.