Примитивный элемент поля

[ikozyrev]

Помогите разобраться:
Читаю Кострикина, и встретилась фраза: Очевидно что для расширения конечного поля $\math \mathbb K \supset \mathbb F_p$, мултипликативная группа расширения порождена примитивным элементом $\math K^{*}= <\theta>$.
Но мне это как-то совсем не очевидно, почему так?
Примитивный элемент - это тот элемент, который мы присоединям к полю чтобы получить его расширение. Потянтно что мультипликативная группа - циклическая, но не всякий элемент порождает мультипликативную группу. Почему же примитвный элемент ее порождает?

-- 15.11.2016, 17:58 --

Кажется дотумкал...Раз мультипликативная группа $\math \mathbb K^* $ порождена одним элементом, значит и все расширение над $\math \mathbb F_p $ порождено им, а значит он и есть примитивный элемент!

[Sonic86]

ikozyrev в сообщении #1169259 писал(а):

Раз мультипликативная группа $\math \mathbb K^* $ порождена одним элементом

ikozyrev в сообщении #1169259 писал(а):

Очевидно что для расширения конечного поля $\math \mathbb K \supset \mathbb F_p$, мултипликативная группа расширения порождена примитивным элементом $\math K^{*}= <\theta>$.

Я в условии задачи в упор не вижу посылки, что $\mathbb{K}^\times$ порождена одним элементом. Можете явно условие задачи написать?

ИМХО, задача на лемму о том, что многочлен степени $n$ над конечным полем имеет не более $n$ корней.

[AV_77]

Это все потому, что примитивный элемент это не обязательно

ikozyrev в сообщении #1169259 писал(а):

тот элемент, который мы присоединям к полю чтобы получить его расширение.

Примитивный элемент - это тот элемент, который порождает мультипликативную подгруппу.