2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Примитивный элемент поля
Сообщение15.11.2016, 16:46 
Помогите разобраться:
Читаю Кострикина, и встретилась фраза: Очевидно что для расширения конечного поля $\math \mathbb K \supset \mathbb F_p$, мултипликативная группа расширения порождена примитивным элементом $\math K^{*}= <\theta>$.
Но мне это как-то совсем не очевидно, почему так?
Примитивный элемент - это тот элемент, который мы присоединям к полю чтобы получить его расширение. Потянтно что мультипликативная группа - циклическая, но не всякий элемент порождает мультипликативную группу. Почему же примитвный элемент ее порождает?

-- 15.11.2016, 17:58 --

Кажется дотумкал...Раз мультипликативная группа $\math \mathbb K^* $ порождена одним элементом, значит и все расширение над $\math \mathbb F_p $ порождено им, а значит он и есть примитивный элемент!

 
 
 
 Re: Примитивный элемент поля
Сообщение15.11.2016, 20:24 
ikozyrev в сообщении #1169259 писал(а):
Раз мультипликативная группа $\math \mathbb K^* $ порождена одним элементом
ikozyrev в сообщении #1169259 писал(а):
Очевидно что для расширения конечного поля $\math \mathbb K \supset \mathbb F_p$, мултипликативная группа расширения порождена примитивным элементом $\math K^{*}= <\theta>$.
Я в условии задачи в упор не вижу посылки, что $\mathbb{K}^\times$ порождена одним элементом. Можете явно условие задачи написать?

ИМХО, задача на лемму о том, что многочлен степени $n$ над конечным полем имеет не более $n$ корней.

 
 
 
 Re: Примитивный элемент поля
Сообщение15.11.2016, 20:33 
Это все потому, что примитивный элемент это не обязательно
ikozyrev в сообщении #1169259 писал(а):
тот элемент, который мы присоединям к полю чтобы получить его расширение.

Примитивный элемент - это тот элемент, который порождает мультипликативную подгруппу.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group