Ускорение при криволинейном движении

[Neinstein]

Здравствуйте!

Разбираюсь с выводом формулы ускорения при криволинейном движении, конкретно с нормальной компонентой вектора ускорения, обращаюсь к разным источникам (Хайкин, Савельев, видеолекции Физтеха), не понимаю следующие пункты:

1) почему центральный угол равен углу смежности? Интуитивно понятно: есть радиус-вектор, проведённый из точки, есть касательная, перпендикулярная к радиусу окружности (вектор скорости), этот радиус-вектор мы поворачиваем на некоторый угол $\Delta{\varphi}$ (перемещение из точки 1 в точку 2) и, таким образом, между касательными в этих точках (угол смежности) равен углу поворота $\Delta{\varphi}$. Но хочется чего-то более строгого, с упором на геометрию (равенство двух углов).

2) для получения выражения для нормальной компоненты сначала рассматривается равномерное движение по окружности, т.е. скорость у нас постоянна по величине, меняется только направление. Но в голове не укладывается следующая вещь: в начальный момент времени точка находилась в положении, характеризуемом радиус-вектором $\vec{r_1}$, через некоторый (пусть и малый) интервал времени $\Delta{t}$ точка переместилась в положение, задаваемое радиус-вектором $\vec{r_2} = \vec{r_1} + \Delta\vec{r}$, причём величина приращения радиус-вектора отлична от нуля (модуль), т.к. |\Delta\vec{r}| = v \cdot \Delta{t}$. Но радиус-вектор результирующего положения проводится из центра окружности в точку на окружности. Следовательно, длина вектора $|\vec{r_1}$| равна радиусу окружности (пусть он будет равен R). В то же время, поскольку $\vec{r_2} = \vec{r_1} + \Delta\vec{r}$, а величина |\Delta\vec{r}|$ отлична от нуля, длина вектора $|\vec{r_2}$| отличается от длины вектора $|\vec{r_1}$| на величину $|\Delta\vec{r}$|. Пока всё это писал, родилось предположение, что в данном случае нельзя приравнивать операции сложения векторов и сложения скаляров. Но чётко объяснить не могу.

На всякий случай привожу картинку с происходящим (взял из Савельева).


Очень надеюсь разобраться. Спасибо!

[gris]

1) Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны (если оба остры ).
Рассуждение годится только при движении по окружности. Но приближённо так и считается при малых поворотах.

[DimaM]

Альтернативой геометрическому подходу может быть аналитический. Записываем зависимость координат от времени для движения по окружности

$$x=R\cos\left(\dfrac{Vt}{R}\right),\quad y=R\sin\left(\dfrac{Vt}{R}\right).$$

Далее находим компоненты ускорения

$$a_x=\dfrac{d^2x}{dt^2},\quad a_y=\dfrac{d^2y}{dt^2}$$

и глядим, чем равен вектор ${\bf a}$ и куда он направлен.

[Dragon27]

Neinstein в сообщении #1167767 писал(а):

Но радиус-вектор результирующего положения проводится из центра окружности в точку на окружности. Следовательно, длина вектора $|\vec{r_1}$| равна радиусу окружности (пусть он будет равен R). В то же время, поскольку $\vec{r_2} = \vec{r_1} + \Delta\vec{r}$, а величина |\Delta\vec{r}|$ отлична от нуля, длина вектора $|\vec{r_2}$| отличается от длины вектора $|\vec{r_1}$| на величину $|\Delta\vec{r}$|.

Длина суммы векторов не равна в общем сумме длин векторов. Это ж стороны треугольника.
А вообще, полезно запомнить - если вектор не меняет своей длины (а только направление), то его бесконечно малое приращение всегда ему перпендикулярно.

[Neinstein]

gris,

точно! Сразу не разглядел! Спасибо!

DimaM,

в данном случае получилось, что вектор направлен к центру окружности и равен центростремительному. Оно и должно было получиться: скорость меняется только по направлению.

Dragon27,

Цитата:

А вообще, полезно запомнить - если вектор не меняет своей длины (а только направление), то его бесконечно малое приращение всегда ему перпендикулярно.

С одной стороны понимаю, почему так (в противном случае длина будет либо больше (угол тупой), либо меньше (угол острый), но в данном случае остаётся некоторая нестыковка. Треугольник у нас равнобедренный, если один угол при основании равен 90, то и второй должен быть равен 90, а есть ведь ещё и 3-ий, и сумма тогда «перевалит» за 180 градусов. Как этот момент разрешить?

[gris]

Neinstein, по-видимому, имеется в виду предел угла между радиус-вектором и приращением при стремлении последнего к нулю.

[Neinstein]

gris,

ааа, ну в таком случае ситуация проясняется.

[Dragon27]

Neinstein в сообщении #1168018 писал(а):

но в данном случае остаётся некоторая нестыковка. Треугольник у нас равнобедренный, если один угол при основании равен 90, то и второй должен быть равен 90, а есть ведь ещё и 3-ий, и сумма тогда «перевалит» за 180 градусов. Как этот момент разрешить?

Очень просто. Приращение - бесконечно малое :). Чем меньше приращение, чем меньше основание равнобёдренного треугольника, тем ближе угол к прямому и в пределе - равен ему.
Можем убедиться в этом, как тут советовали, аналитически, взяв дифференциал от квадрата модуля вектора:
$\mathbf{r}\cdot\mathbf{r} = r^2$

$d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) = d\mathbf{r}\cdot\mathbf{r} + \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} = 2d\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}$
$d(r^2) = 0$, т.к модуль вектора - константа
Отсюда $d\mathbf{r}\cdot\mathbf{r} = \frac{d(r^2)}{2} = 0$, то есть бесконечно малое приращение (дифференциал) вектора перпендикулярно ему самому.

[Neinstein]

Dragon27,

спасибо огромное!:)
Сначала воспринял, что угол точно равен 90 градусам, что смутило.:)

[Neinstein]

Ещё раз здравствуйте!

В том же Савельеве не понимаю процесс получения формулы для нормальной составляющей ускорения. Не знаю, как лучше это описать, поэтому выкладываю сканы интересующих страниц.







Что я понимаю на данный момент: рассматриваем плоскую кривую, кривизну этой кривой в данной точке (у Савельева — точка 1, рис. 25) можно определить, построив окружность через точку 1 и точки 2 и 3, близко расположенные по разные стороны от точки 1 (окружность однозначно определяется 3-мя точками), в пределе при стремлении точек 2 и 3 к точке 1 с разных сторон получаем окружность, радиус которой и определит кривизну в данной точке. А вот рисунок 26 уже не очень понятен: что это за точки 1 и 2? Связаны ли они с рисунком 25? Автор оперирует величинами R' и R'', являющимися перпендикулярами к касательным в точках 1 и 2, пересекающимися в некоторой точке O'. А дальше возникает величина R, к которой стремятся R' и R''. Не понимаю, откуда берётся R? Получается, что O' — это не центр радиуса кривизны в точке 1? В таком случае не могу понять, почему на следующем рисунке (рис. 27) R' уже меняется на R и проводится из точки O'...

[Sender]

Neinstein в сообщении #1169190 писал(а):

что это за точки 1 и 2? Связаны ли они с рисунком 25?

Да, это те же самые точки. Нашей задачей является нахождение кривизны в точке 1, остальные точки играют вспомогательную роль.

Neinstein в сообщении #1169190 писал(а):

Не понимаю, откуда берётся R?

R - это предел, к которому стремится R' при стремлении вдоль кривой точки 2 к фиксированной точке 1. Для каждого положения точки 2 имеется свой R' и своя точка O'. В пределе R' стремится кнекоторому R, а O' стремится к некоторой точке O, которая и будет центром кривизны.

Neinstein в сообщении #1169190 писал(а):

Получается, что O' — это не центр радиуса кривизны в точке 1?

O' - точка пересечения перпендикуляров в касательным в точках 1 и 2. Для каждого положения точки 2 имеется своя точка O'.

[Neinstein]

Sender,

Цитата:

R - это предел, к которому стремится R' при стремлении вдоль кривой точки 2 к фиксированной точке 1. Для каждого положения точки 2 имеется свой R' и своя точка O'. В пределе R' стремится кнекоторому R, а O' стремится к некоторой точке O, которая и будет центром кривизны.

Ммм... Вот на рисунке 26 есть R' и R''. R' — это перпендикуляр, опущенный из точки 1 (из той точки, в которой мы и ищем кривизну), R'' — перпендикуляр, опущенный из точки 2, R' и R'' пересекаются в некоторой точке O'. Если точка R' у нас фиксирована, и мы двигаемся от R'' к R', устремляя $\Delta s$ к 0, то в пределе мы перейдём к R'. Я к тому, что некоторая мешанина в голове возникает: то ли точки 1 и 2 на рис. 26 соответствуют точкам 2 и 3 на рис. 25 (тогда понятно, что такое R' и R'', а по мере сближения точек 1 и 2 с рис. 26 мы действительно приходим к некоторому предельному значению R), то ли точка 1 — это та точка, в которой мы ищем кривизну, а точка 2 — которую мы устремляем к точке 1 (это то, о чём Вы пишете, если я правильно понял; но в таком случае я понимаю, что R'' стремится к значению R', а откуда возникает R? На рис. 27 по-прежнему есть R'', есть O', но таинственным образом исчезает R'...)

[Sender]

Neinstein в сообщении #1169240 писал(а):

но в таком случае я понимаю, что R'' стремится к значению R'

Нет, R' и R'' оба стремятся к R.

-- Вт ноя 15, 2016 16:18:24 --

И да, R,R',R'' - не точки, а расстояния. $R'=O'1$, $R''=O'2$, $R=\displaystyle{\lim_{2 \to 1}} R'=\displaystyle{\lim_{2 \to 1}} R''.$

[Neinstein]

Sender,

Цитата:

Нет, R' и R'' оба стремятся к R.

Т.е. всё-таки тогда получается, что R' — это левая граница (и точка 1 с рис. 25 соответствует точке 2 с рис. 26), R'' — правая (точка 2 с рис. 25 соответствует точке 3 с рис. 26), и этот участок мы стягиваем к точке 1? Если точку 1 с рис. 26 мы не трогаем, а перемещаем точку 2 к точке 1, то я не понимаю, зачем даётся рис. 25 с 3-мя точками...

--upd--

Цитата:

И да, R,R',R'' - не точки, а расстояния. $R'=O'1$, $R''=O'2$, $R=\displaystyle{\lim_{2 \to 1}} R'=\displaystyle{\lim_{2 \to 1}} R''.$

Да, это я понимаю. Не понимаю, почему и R', и R'' стремятся к одному значению, причём с одной стороны, судя по тому, что вы написали.

[Sender]

Neinstein в сообщении #1169256 писал(а):

и точка 1 с рис. 25 соответствует точке 2 с рис. 26

Боюсь, что нет. Точка 1 на всех рисунках соответствует точке 1, точка 2 на всех рисунках соответствует точке 2 и т.д. С помощью рисунка 25 даётся определение окружности кривизны. Судя по всему, этот рисунок не используется в дальнейших рассуждениях. Утверждается, что радиус окружности кривизны, определённой с помощью рис. 25, соответствует величине R, определённой с помощью рис. 26.

Neinstein в сообщении #1169256 писал(а):

Не понимаю, почему и R', и R'' стремятся к одному значению

Вам непонятно, почему длины отрезков, стремящихся совпасть, стремятся к одному значению?

Neinstein в сообщении #1169256 писал(а):

причём с одной стороны, судя по тому, что вы написали.

Поясните, пожалуйста, что вы имеете в виду.