2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Ускорение при криволинейном движении
Сообщение10.11.2016, 12:21 


03/11/16
60
Здравствуйте!

Разбираюсь с выводом формулы ускорения при криволинейном движении, конкретно с нормальной компонентой вектора ускорения, обращаюсь к разным источникам (Хайкин, Савельев, видеолекции Физтеха), не понимаю следующие пункты:

1) почему центральный угол равен углу смежности? Интуитивно понятно: есть радиус-вектор, проведённый из точки, есть касательная, перпендикулярная к радиусу окружности (вектор скорости), этот радиус-вектор мы поворачиваем на некоторый угол $\Delta{\varphi}$ (перемещение из точки 1 в точку 2) и, таким образом, между касательными в этих точках (угол смежности) равен углу поворота $\Delta{\varphi}$. Но хочется чего-то более строгого, с упором на геометрию (равенство двух углов).

2) для получения выражения для нормальной компоненты сначала рассматривается равномерное движение по окружности, т.е. скорость у нас постоянна по величине, меняется только направление. Но в голове не укладывается следующая вещь: в начальный момент времени точка находилась в положении, характеризуемом радиус-вектором $\vec{r_1}$, через некоторый (пусть и малый) интервал времени $\Delta{t}$ точка переместилась в положение, задаваемое радиус-вектором $\vec{r_2} = \vec{r_1} + \Delta\vec{r}$, причём величина приращения радиус-вектора отлична от нуля (модуль), т.к. |\Delta\vec{r}| = v \cdot \Delta{t}$. Но радиус-вектор результирующего положения проводится из центра окружности в точку на окружности. Следовательно, длина вектора $|\vec{r_1}$| равна радиусу окружности (пусть он будет равен R). В то же время, поскольку $\vec{r_2} = \vec{r_1} + \Delta\vec{r}$, а величина |\Delta\vec{r}|$ отлична от нуля, длина вектора $|\vec{r_2}$| отличается от длины вектора $|\vec{r_1}$| на величину $|\Delta\vec{r}$|. Пока всё это писал, родилось предположение, что в данном случае нельзя приравнивать операции сложения векторов и сложения скаляров. Но чётко объяснить не могу.

На всякий случай привожу картинку с происходящим (взял из Савельева).
Изображение

Очень надеюсь разобраться. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение10.11.2016, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
1) Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны (если оба остры :-) ).
Рассуждение годится только при движении по окружности. Но приближённо так и считается при малых поворотах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение10.11.2016, 12:38 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Альтернативой геометрическому подходу может быть аналитический. Записываем зависимость координат от времени для движения по окружности
$$x=R\cos\left(\dfrac{Vt}{R}\right),\quad y=R\sin\left(\dfrac{Vt}{R}\right).$$
Далее находим компоненты ускорения
$$a_x=\dfrac{d^2x}{dt^2},\quad a_y=\dfrac{d^2y}{dt^2}$$
и глядим, чем равен вектор ${\bf a}$ и куда он направлен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение10.11.2016, 14:59 


22/06/09
975
Neinstein в сообщении #1167767 писал(а):
Но радиус-вектор результирующего положения проводится из центра окружности в точку на окружности. Следовательно, длина вектора $|\vec{r_1}$| равна радиусу окружности (пусть он будет равен R). В то же время, поскольку $\vec{r_2} = \vec{r_1} + \Delta\vec{r}$, а величина |\Delta\vec{r}|$ отлична от нуля, длина вектора $|\vec{r_2}$| отличается от длины вектора $|\vec{r_1}$| на величину $|\Delta\vec{r}$|.

Длина суммы векторов не равна в общем сумме длин векторов. Это ж стороны треугольника.
А вообще, полезно запомнить - если вектор не меняет своей длины (а только направление), то его бесконечно малое приращение всегда ему перпендикулярно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение11.11.2016, 09:28 


03/11/16
60
gris,

точно! Сразу не разглядел! Спасибо!

DimaM,

в данном случае получилось, что вектор направлен к центру окружности и равен центростремительному. Оно и должно было получиться: скорость меняется только по направлению.

Dragon27,

Цитата:
А вообще, полезно запомнить - если вектор не меняет своей длины (а только направление), то его бесконечно малое приращение всегда ему перпендикулярно.

С одной стороны понимаю, почему так (в противном случае длина будет либо больше (угол тупой), либо меньше (угол острый), но в данном случае остаётся некоторая нестыковка. Треугольник у нас равнобедренный, если один угол при основании равен 90, то и второй должен быть равен 90, а есть ведь ещё и 3-ий, и сумма тогда «перевалит» за 180 градусов. Как этот момент разрешить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение11.11.2016, 09:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Neinstein, по-видимому, имеется в виду предел угла между радиус-вектором и приращением при стремлении последнего к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение11.11.2016, 09:46 


03/11/16
60
gris,

ааа, ну в таком случае ситуация проясняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение11.11.2016, 09:53 


22/06/09
975
Neinstein в сообщении #1168018 писал(а):
но в данном случае остаётся некоторая нестыковка. Треугольник у нас равнобедренный, если один угол при основании равен 90, то и второй должен быть равен 90, а есть ведь ещё и 3-ий, и сумма тогда «перевалит» за 180 градусов. Как этот момент разрешить?

Очень просто. Приращение - бесконечно малое :). Чем меньше приращение, чем меньше основание равнобёдренного треугольника, тем ближе угол к прямому и в пределе - равен ему.
Можем убедиться в этом, как тут советовали, аналитически, взяв дифференциал от квадрата модуля вектора:
$\mathbf{r}\cdot\mathbf{r} = r^2$

$d(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) = d\mathbf{r}\cdot\mathbf{r} + \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} = 2d\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}$
$d(r^2) = 0$, т.к модуль вектора - константа
Отсюда $d\mathbf{r}\cdot\mathbf{r} = \frac{d(r^2)}{2} = 0$, то есть бесконечно малое приращение (дифференциал) вектора перпендикулярно ему самому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение11.11.2016, 09:56 


03/11/16
60
Dragon27,

спасибо огромное!:)
Сначала воспринял, что угол точно равен 90 градусам, что смутило.:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение15.11.2016, 11:30 


03/11/16
60
Ещё раз здравствуйте!

В том же Савельеве не понимаю процесс получения формулы для нормальной составляющей ускорения. Не знаю, как лучше это описать, поэтому выкладываю сканы интересующих страниц.

Изображение

Изображение

Изображение

Что я понимаю на данный момент: рассматриваем плоскую кривую, кривизну этой кривой в данной точке (у Савельева — точка 1, рис. 25) можно определить, построив окружность через точку 1 и точки 2 и 3, близко расположенные по разные стороны от точки 1 (окружность однозначно определяется 3-мя точками), в пределе при стремлении точек 2 и 3 к точке 1 с разных сторон получаем окружность, радиус которой и определит кривизну в данной точке. А вот рисунок 26 уже не очень понятен: что это за точки 1 и 2? Связаны ли они с рисунком 25? Автор оперирует величинами R' и R'', являющимися перпендикулярами к касательным в точках 1 и 2, пересекающимися в некоторой точке O'. А дальше возникает величина R, к которой стремятся R' и R''. Не понимаю, откуда берётся R? Получается, что O' — это не центр радиуса кривизны в точке 1? В таком случае не могу понять, почему на следующем рисунке (рис. 27) R' уже меняется на R и проводится из точки O'...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение15.11.2016, 15:20 


14/01/11
2916
Neinstein в сообщении #1169190 писал(а):
что это за точки 1 и 2? Связаны ли они с рисунком 25?

Да, это те же самые точки. Нашей задачей является нахождение кривизны в точке 1, остальные точки играют вспомогательную роль.

Neinstein в сообщении #1169190 писал(а):
Не понимаю, откуда берётся R?

R - это предел, к которому стремится R' при стремлении вдоль кривой точки 2 к фиксированной точке 1. Для каждого положения точки 2 имеется свой R' и своя точка O'. В пределе R' стремится кнекоторому R, а O' стремится к некоторой точке O, которая и будет центром кривизны.
Neinstein в сообщении #1169190 писал(а):
Получается, что O' — это не центр радиуса кривизны в точке 1?

O' - точка пересечения перпендикуляров в касательным в точках 1 и 2. Для каждого положения точки 2 имеется своя точка O'.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение15.11.2016, 15:43 


03/11/16
60
Sender,

Цитата:
R - это предел, к которому стремится R' при стремлении вдоль кривой точки 2 к фиксированной точке 1. Для каждого положения точки 2 имеется свой R' и своя точка O'. В пределе R' стремится кнекоторому R, а O' стремится к некоторой точке O, которая и будет центром кривизны.


Ммм... Вот на рисунке 26 есть R' и R''. R' — это перпендикуляр, опущенный из точки 1 (из той точки, в которой мы и ищем кривизну), R'' — перпендикуляр, опущенный из точки 2, R' и R'' пересекаются в некоторой точке O'. Если точка R' у нас фиксирована, и мы двигаемся от R'' к R', устремляя $\Delta s$ к 0, то в пределе мы перейдём к R'. Я к тому, что некоторая мешанина в голове возникает: то ли точки 1 и 2 на рис. 26 соответствуют точкам 2 и 3 на рис. 25 (тогда понятно, что такое R' и R'', а по мере сближения точек 1 и 2 с рис. 26 мы действительно приходим к некоторому предельному значению R), то ли точка 1 — это та точка, в которой мы ищем кривизну, а точка 2 — которую мы устремляем к точке 1 (это то, о чём Вы пишете, если я правильно понял; но в таком случае я понимаю, что R'' стремится к значению R', а откуда возникает R? На рис. 27 по-прежнему есть R'', есть O', но таинственным образом исчезает R'...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение15.11.2016, 16:06 


14/01/11
2916
Neinstein в сообщении #1169240 писал(а):
но в таком случае я понимаю, что R'' стремится к значению R'

Нет, R' и R'' оба стремятся к R.

-- Вт ноя 15, 2016 16:18:24 --

И да, R,R',R'' - не точки, а расстояния. $R'=O'1$, $R''=O'2$, $R=\displaystyle{\lim_{2 \to 1}} R'=\displaystyle{\lim_{2 \to 1}} R''.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение15.11.2016, 16:28 


03/11/16
60
Sender,

Цитата:
Нет, R' и R'' оба стремятся к R.

Т.е. всё-таки тогда получается, что R' — это левая граница (и точка 1 с рис. 25 соответствует точке 2 с рис. 26), R'' — правая (точка 2 с рис. 25 соответствует точке 3 с рис. 26), и этот участок мы стягиваем к точке 1? Если точку 1 с рис. 26 мы не трогаем, а перемещаем точку 2 к точке 1, то я не понимаю, зачем даётся рис. 25 с 3-мя точками...

--upd--

Цитата:
И да, R,R',R'' - не точки, а расстояния. $R'=O'1$, $R''=O'2$, $R=\displaystyle{\lim_{2 \to 1}} R'=\displaystyle{\lim_{2 \to 1}} R''.$


Да, это я понимаю. Не понимаю, почему и R', и R'' стремятся к одному значению, причём с одной стороны, судя по тому, что вы написали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ускорение при криволинейном движении
Сообщение15.11.2016, 17:34 


14/01/11
2916
Neinstein в сообщении #1169256 писал(а):
и точка 1 с рис. 25 соответствует точке 2 с рис. 26

Боюсь, что нет. Точка 1 на всех рисунках соответствует точке 1, точка 2 на всех рисунках соответствует точке 2 и т.д. С помощью рисунка 25 даётся определение окружности кривизны. Судя по всему, этот рисунок не используется в дальнейших рассуждениях. Утверждается, что радиус окружности кривизны, определённой с помощью рис. 25, соответствует величине R, определённой с помощью рис. 26.

Neinstein в сообщении #1169256 писал(а):
Не понимаю, почему и R', и R'' стремятся к одному значению

Вам непонятно, почему длины отрезков, стремящихся совпасть, стремятся к одному значению?

Neinstein в сообщении #1169256 писал(а):
причём с одной стороны, судя по тому, что вы написали.

Поясните, пожалуйста, что вы имеете в виду.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group