Задача по геометрии

[Rusit8800]

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

[Markiyan Hirnyk]

Доказательство с Мэйплом здесь.

[Rusit8800]

Есть "более синтетическое" доказательство.

-- 13.11.2016, 23:21 --

Какой вообще интерес решать задачи вычислительным методом, вся геометрия уходит в алгебру?

[Markiyan Hirnyk]

Rusit8800 в сообщении #1168738 писал(а):

Какой вообще интерес решать задачи вычислительным методом, вся геометрия уходит в алгебру?

Вычислительная геометрия (см. также англоязычную версию статьи) является актуальным направлением современной математики. В частности, это теория для GPS.

[Rusit8800]

Но все же вычислительные доказательства я не считаю красивыми.

[kotenok gav]

Rusit8800 в сообщении #1169010 писал(а):

Но все же вычислительные доказательства я не считаю красивыми.

Именно!

[Rusit8800]

видимо задача слишком сложна для синтетического доказательства

[iou]

Нужно показать, что шестиугольник, вершинами которого являются центры описанных окружностей, будет вписанным, делать это можно несколькими способами, например, для начала нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны.

[Markiyan Hirnyk]

iou в сообщении #1169284 писал(а):

Нужно показать, что шестиугольник, вершинами которого являются центры описанных окружностей, будет вписанным, делать это можно несколькими способами, например, для начала нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны.

Последнее утверждение неверно (см. рисунок.)

[Rusit8800]

Шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны является вписанным тогда и только тогда, когда его "главные" диагонали равны. При этом этот факт остается верным и для самопересекающегося шестиугольника. Этим фактом надо воспользоваться.

-- 15.11.2016, 23:32 --

Цитата:

Последнее утверждение неверно

Это утверждение верно не для самого шестиугольника, а для некоторой ломаной, содержащей эти 6 точек.

-- 15.11.2016, 23:37 --

Попробуйте воспользоваться векторами

[Sergic Primazon]

Rusit8800 в сообщении #1168714 писал(а):

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

$O_1,O_2,O_3,O_4 -$ центры описанных окружностей $\triangle AGB_1 , \triangle BC_1G , \triangle BA_1G, \triangle CB_1G.$

$O_1O_4 \parallel O_2O_3$

Докажем, что : $O_1O_2 = O_3O_4$

$$\ctg(\alpha_1)= \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{GC_1^2+BC_1^2-BG^2}{S}\ ,\ \ctg(\beta_1)= \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{AG^2+AB_1^2-GB_1^2}{S}$$

$$O_2N-O_1M=\dfrac{BB_1}{6} \cdot \left( 2 \ctg(\alpha_1)-\ctg(\beta_1) \right)= -\dfrac{BB_1}{4S}\cdot \left( \dfrac{b^2}{4}+\dfrac{BB_1^2}{3}\right )$$

Поэтому : $O_2N-O_1M= O_3N-O_4M$

[Sergic Primazon]

Получили : $O_6O_1 \parallel O_3O4 \ ,\ O_1O_2 \parallel O_4O_5 \ ,\ O_2O_3 \parallel O_5O_6$ и $O_1O_4=O_2O_5=O_3O_6 \Rightarrow O_1,O_2,O_3,O_4,O_5,O_6 -$ лежат на одной окружности.

[Red_Herring]

Картинка и tex.source ; точка $K$ это центр той самой окружности. Можно менять декларации вершин и все остальное меняется автоматически при компиляции. Геометрам на заметку: пакет tkz-euclide (входит в стандартные "раздачи"). Автор работает над обновление, с большим количеством команд

Используется синтаксис LaTeX

\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetkzobj{all}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/A,9/0/B,3/6/C};
\draw[blue] (A)--(B)--(C)--(A);
\node[below] at (A) {$A$};
\node[below] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{C1}
\tkzDefMidPoint(A,C) \tkzGetPoint{B1}
\tkzDefMidPoint(B,C) \tkzGetPoint{A1}
\node[right] at (A1) {$A_1$};
\node[left] at (B1) {$B_1$};
\node[below] at (C1) {$C_1$};
\draw[blue!50!cyan!50] (A)--(A1);
\draw[blue!50!cyan!50] (B)--(B1);
\draw[blue!50!cyan!50] (C)--(C1);
\tkzInterLL(A,A1)(B,B1) \tkzGetPoint{G}
\node[below] at (G) {$G$};
\tkzCircumCenter(A,G,C1) \tkzGetPoint{O1} 
\tkzCircumCenter(B,G,C1) \tkzGetPoint{O6} 
\tkzCircumCenter(B,G,A1) \tkzGetPoint{O5} 
\tkzCircumCenter(C,G,A1) \tkzGetPoint{O4} 
\tkzCircumCenter(C,G,B1) \tkzGetPoint{O3} 
\tkzCircumCenter(A,G,B1) \tkzGetPoint{O2} 
\fill[blue] (O2) circle (.02);
\tkzCircumCenter(O1,O3,O5) \tkzGetPoint{K} 
\tkzDrawCircle[color=brown,  thin](K,O1)
\node[right] at (K) {$K$};
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O1,A); 
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O2,A);
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O3,C); 
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O4,C);
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O6,B); 
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O5,B);
\draw[green, thin] (O1)--(O2)--(O3)--(O4)--(O5)--(O6)--(O1); 
\fill[red] (G) circle (.02);
\fill[blue] (O1) circle (.02);
\fill[blue] (O6) circle (.02);
\fill[blue] (O5) circle (.02);
\fill[blue] (O4) circle (.02);
\fill[blue] (O3) circle (.02);
\fill[brown] (K) circle (.02);
\end{tikzpicture}
\end{document}

[Rusit8800]

Sergic Primazon в сообщении #1169357 писал(а):

Rusit8800 в сообщении #1168714 писал(а):

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

$O_1,O_2,O_3,O_4 -$ центры описанных окружностей $\triangle AGB_1 , \triangle BC_1G , \triangle BA_1G, \triangle CB_1G.$

$O_1O_4 \parallel O_2O_3$

Докажем, что : $O_1O_2 = O_3O_4$

$$\ctg(\alpha_1)= \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{GC_1^2+BC_1^2-BG^2}{S}\ ,\ \ctg(\beta_1)= \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{AG^2+AB_1^2-GB_1^2}{S}$$

$$O_2N-O_1M=\dfrac{BB_1}{6} \cdot \left( 2 \ctg(\alpha_1)-\ctg(\beta_1) \right)= -\dfrac{BB_1}{4S}\cdot \left( \dfrac{b^2}{4}+\dfrac{BB_1^2}{3}\right )$$

Поэтому : $O_2N-O_1M= O_3N-O_4M$

Верно. Это доказательство даже немного легче того, которое я хотел привести.

[Markiyan Hirnyk]

Вычислительное доказательство проще.