Определение алгебры Ли группы через левоинвариантные поля

[Padawan]

Metford в сообщении #1168960 писал(а):

Это я сделал уже. Там вторые производные уходят с изменением порядка дифференцирования - в этом вычислении всё понятно.

Так это одно и то же. Там, где штрихованные индексы - это в окрестности точки $L_a(x_0)$. $L'_a$ - это матрица $\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^k}$.

[Slav-27]

Metford, тогда прошу прощения, это я невпопад ответил.

Значит досчитывайте в координатах, а вот вам для развлечения доказательство без координат; оно проще:

(Оффтоп)

Итак пусть $M$ -- гладкое многообразие, $\varphi$ -- его диффеоморфизм, $X$ и $Y$ -- гладкие векторные поля на $M$, $\varphi_*$ -- индуцированное диффеоморфизмом $\varphi$ отображение векторных полей.

Объяснение. 1. Пусть $\lambda(t)$ (то есть $\lambda:I\to M$, где $I$ -- отрезок $\mathbb R$) -- гладкая кривая на многообразии, проходящая через точку $p$ в момент времени $t=0$, а $v$ -- вектор, касательный к этой кривой в $p$ (то есть оператор производной вдоль этой кривой в $p$).
Тогда полагаем по определению, что $\varphi_* v$ -- касательный вектор к образу этой кривой в образе $p$. Это отображение корректно определено на векторах (докажите!), поэтому задаёт отображение векторных полей на $M$, причём гладкое поле переводит в гладкое (докажите!).

2. Пусть $f$ -- скалярное поле, тогда $vf=\lim\limits_{t\to 0} [f(\lambda(t))-f(\lambda(0))]$ (где $\lambda(0)=p$). Тогда, по нашему определению, $(\varphi_*v)f=\lim\limits_{t\to 0} [f(\varphi(\lambda(t)))-f(\varphi(\lambda(0)))]=v(f\circ\varphi)$, где $\circ$ -- композиция.

3. Теперь если $X$ -- векторное поле (дифференцирование алгебры гладких функций на $M$), то по предыдущему просто получается $((\varphi_*X)f)\big|_{\varphi(p)}=(X(f\circ\varphi))\big|_p$, или, по-другому,

$$\boxed{((\varphi_*X)f)\circ\varphi=X(f\circ\varphi)}.$$

4. У вас роль $\varphi_*$, понятное дело, играет $L'_a$.

Утверждение. $\varphi_*[X,Y]=[\varphi_*X,\varphi_*Y]$.

Доказательство. Для любого скалярного поля $f$ получается по формуле в рамке:

$$\left( [\varphi_*X,\varphi_*Y]f \right) \circ\varphi = \left(\varphi_*X(\varphi_* Y (f))\right)\circ\varphi - \langle X Y\rangle =$$

$$=X((\varphi_* Y (f))\circ\varphi)- \langle XY \rangle=XY(f\circ\varphi)- \langle XY \rangle =$$

$$=[X,Y](f\circ\varphi)=((\varphi_*[X,Y])f)\circ\varphi$$

-- где $\langle XY \rangle$ означает член, получающийся из предыдущего перестановкой $X$ и $Y$.

Поэтому $[\varphi_*X,\varphi_*Y]f =\varphi_*[X,Y]f$ для любой гладкой функции $f$, что и требовалось.

[Metford]

Padawan в сообщении #1169028 писал(а):

Так это одно и то же.

Да. Точно. Не привык всё-таки ещё к этим обозначениям... Спасибо, Padawan!

Slav-27
Пока что просто прочитал и впечатлился. В таком виде тяжеловато переваривается (ну, что взять с человека, не являющегося математиком по образованию...). Но чувствую, что переварю. Так что Ваш труд не будет напрасным. Спасибо!

(Оффтоп)

Забавно, когда в такой теме возникает сообщение "Ошибка отправки формы". Хочется возразить системе, что мы тут векторные поля обсуждаем и попросить не вмешиваться