Теорема о промежуточных значениях производной.

[Duelist]

Пусть функция $f$ дифференцируема на $[a,b].$ Доказать, что её производная на $[a,b]$ принимает все значения между $f'(a)$ и $f'(b).$
Это было бы сразу ясно, если бы мы знали, что производная непрерывна. Поскольку этого нет, нужно придумать нечто иное. Может быть, ввести какую-то вспомогательную функцию и воспользоваться теоремой Лагранжа. Но мне нужна всё же подсказка.

[Someone]

Это теорема Дарбу.
Рассмотрите сначала случай, когда $f'(a)$ и $f'(b)$ имеют разные знаки и посмотрите на поведение функции $f(x)$ в этом случае.

[Duelist]

Someone
Спасибо.