Определение алгебры Ли группы через левоинвариантные поля

[Metford]

Помогите, пожалуйста, разобраться в деталях определения алгебры Ли с помощью левоинвариантных полей. Видимо, я какие-то простые вещи не ухватываю.
Есть у нас группа $G$, на ней определены левые сдвиги $L_a$, $a\in G$, т.е. $L_ag=ag$. Нас интересует множество всех левоинвариантных полей: $L'_aX=X$. Утверждается, что это множество является алгеброй Ли относительно скобочной операции. Дальше пишут, что

$$L'_a[X,Y]=[L'_aX,L'_aY],$$

откуда уже утверждение очевидно. Но как этот переход проделать, мне непонятно. Постников в третьей части своего труда предлагает записать обе части в координатах и увидеть, что это так (там, правда, не для этого конкретного случая сказано, но в четвёртой части отсылка даётся именно туда). Ну хорошо, если ещё коммутатор векторных полей понятно, как записать в координатах, то что делать с $L'_a$? Это ведь дифференциал отображения $L_a$, для него координатного выражения я не вижу.
Подскажите идею, пожалуйста.

[Slav-27]

Metford в сообщении #1168645 писал(а):

что делать с $L'_a$? Это ведь дифференциал отображения $L_a$, для него координатного выражения я не вижу.

$L_a: G \to G$ в локальных координатах представится функцией, переводящей $n$-ку координат в другую $n$-ку; это удобно обозначать $(x^1, ..., x^n) \mapsto (L_a^1(x^1,...,x^n),...,L_a^n(x^1,...,x^n))$. Вот это и расписывайте.

Распишите вот коммутатор и дифференциал и посмотрите, что получится.

[Metford]

Так. Вот здесь, видимо, и непонимание у меня. Допустим, есть у меня некоторый вектор $X=X^k\frac{\partial}{\partial x_k}$. Если я на него действую отображением $L'_a$, то в силу линейности отображения достаточно понять, что получится в частном случае базисного вектора $\frac{\partial}{\partial x_k}$. Будет ли правильно так:

$$L'_a\left(\frac{\partial}{\partial x_k}\right)=\frac{\partial L_a^i}{\partial x_k}\frac{\partial}{\partial y_i}$$

[Padawan]

Это же просто значит, что коммутатор инвариантен относительно замены переменных. Смотрите, в окрестности точки $x_0$ есть координаты $x^i$. Эти же координаты в окрестности точки $L_a(x_0)$ будем обозначать $y^i$. Отображение $L_a$ можно рассматривать как переход от координат $x^i$ к координатам $y^i$. Искомое равенство просто значит, что коммутатор преобразуется как вектор при замене координат. Вроде так.

[Slav-27]

Metford
Да, правильно. Это ведь сразу следует из определения дифференциала.

Советую писать индексы на своих местах: у координат -- сверху. Это помогает не путаться.

-- 13.11.2016, 21:38 --

Ну да: по сути нужно доказать, что коммутатор векторных полей -- это векторное (а не какое-нибудь там) поле.

[Metford]

Slav-27 в сообщении #1168698 писал(а):

Это ведь сразу следует из определения дифференциала.

Теперь понятно. Я как-то тяжело привыкаю к такой формулировке...

Slav-27 в сообщении #1168698 писал(а):

Советую писать индексы на своих местах: у координат -- сверху

Ой. Это я поспешил. Обычно я индексы у координат правильно пишу - это здесь оплошал Спасибо, что поправили.

Slav-27 в сообщении #1168698 писал(а):

Ну да: по сути нужно доказать, что коммутатор векторных полей -- это векторное (а не какое-нибудь там) поле.

Секунду. Для коммутатора получается, что он представляет собой векторное поле, просто явным расчётом в координатах. Без всяких дифференциалов. Padawan, Slav-27, получается, что можно просто сослаться на то, что коммутатор - это вектор? И отсюда будет сразу следовать искомое утверждение?
Всё равно попробую и формальный путь до конца довести. Хочется руку набить.

[Padawan]

Явный расчет в координатах как раз и содержит дифференциал замены переменных. Вспомните, как преобразуются вектора при замене координат. Там присутствует матрица Якоби. Вот вам и дифференциал.

[Metford]

Хм. Я это себе представлял как-то так. Беру скалярную функцию $f$. Вычисляю:

$$[X,Y]f=X^k\frac{\partial}{\partial x^k}\left(Y^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)- Y^k\frac{\partial}{\partial x^k}\left(X^i\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)=\left(X^k\frac{\partial Y^i}{\partial x^k}-Y^k\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\right)\frac{\partial f}{\partial x^i}.$$

Два слагаемых исчезли, в которых порядок дифференцирования только отличался. Отсюда и видно, что

$$[X,Y]=\left(X^k\frac{\partial Y^i}{\partial x^k}-Y^k\frac{\partial X^i}{\partial x^k}\right)\frac{\partial}{\partial x^i}.$$

Вроде бы понятно, что вектор получился. Хотя ясно, что можно было смотреть на закон преобразования.

[Padawan]

Можно и без координат, если вспомнить геометрический смысл коммутатора.
$[X, Y]_x == \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} (\Phi^Y_{-\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{-\sqrt{t}} \circ \Phi^Y_{\sqrt{t}} \circ \Phi^X_{\sqrt{t}})(x)$
(из википедии стащил)

-- Пн ноя 14, 2016 00:22:44 --

Metford в сообщении #1168707 писал(а):

Вроде бы понятно, что вектор получился. Хотя ясно, что можно было смотреть на закон преобразования.

Да, попробуйте показать, что выражение $X^k\frac{\partial Y^i}{\partial x^k}-Y^k\frac{\partial X^i}{\partial x^k}$ при замене координат преобразуется по векторному закону. Потом эти выкладки легко проинтерпретировать как доказательство нужной Вам формулы.

[Metford]

Padawan в сообщении #1168711 писал(а):

Да, попробуйте показать, что выражение $X^k\frac{\partial Y^i}{\partial x^k}-Y^k\frac{\partial X^i}{\partial x^k}$ при замене координат преобразуется по векторному закону

Это получилось сделать без проблем. Вот с явным вычислением сложнее.
Попробую показать, что я сделал. Чтобы ничего не напутать, по шагам.
1.

$$(L'_a(X))^m=X^n\frac{\partial L_a^m}{\partial x^n},\;(L'_a(Y))^m=Y^n\frac{\partial L_a^m}{\partial x^n}$$

2.

$$[L'_a(X),L'_a(Y)]^k=X^n\frac{\partial L_a^m}{\partial x^n}\frac{\partial}{\partial x^m}\left(Y^j\frac{\partial L_a^k}{\partial x^j}\right)- Y^n\frac{\partial L_a^m}{\partial x^n}\frac{\partial}{\partial x^m}\left(X^j\frac{\partial L_a^k}{\partial x^j}\right)$$

3.

$$(L'_a([X,Y]))^k=\left(X^m\frac{\partial Y^i}{\partial x^m}-Y^m\frac{\partial X^i}{\partial x^m}\right)\frac{\partial L_a^k}{\partial x^i}$$

И вот не сходятся второй и третий пункты. Что-то я делаю не так...

[Slav-27]

Metford
Так про левоинвариантность забыли!

2-й пункт она сильно упрощает, а в 3-м надо тоже ею воспользоваться.

[Padawan]

Metford в сообщении #1168828 писал(а):

Цитата:

Padawan в сообщении #1168711
писал(а):
Да, попробуйте показать, что выражение $X^k\frac{\partial Y^i}{\partial x^k}-Y^k\frac{\partial X^i}{\partial x^k}$ при замене координат преобразуется по векторному закону

Это получилось сделать без проблем. Вот с явным вычислением сложнее.

Ну, я имел ввиду, что показать явным вычислением. Хорошо, я начну, Вы продолжите. В новых координатах:

$$[X,Y]^{k'}=X^{i'}\frac{\partial Y^{k'}}{\partial x^{i'}}-Y^{i'}\frac{\partial X^{k'}}{\partial x^{i'}}=\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^i} X^i \frac{\partial}{\partial x^{i'}}\left(\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{k}} Y^k\right)-\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^i} Y^i \frac{\partial}{\partial x^{i'}}\left(\frac{\partial x^{k'}}{\partial x^{k}} X^k\right)=\ldots$$

Metford в сообщении #1168828 писал(а):

И вот не сходятся второй и третий пункты. Что-то я делаю не так...

В точке $x_0$ производные считаются по переменным $x^i$, а в точке $L_a(x_0)$ - по переменным $y^i$, кроме того там $X^i=X^i(L_a(x_0))$.

-- Пн ноя 14, 2016 12:02:39 --

Slav-27 в сообщении #1168862 писал(а):

Так про левоинвариантность забыли!

Она тут ни при чем. Формула верна для любого диффеоморфизма.

[Metford]

Padawan в сообщении #1168865 писал(а):

Хорошо, я начну, Вы продолжите. В новых координатах:

Это я сделал уже. Там вторые производные уходят с изменением порядка дифференцирования - в этом вычислении всё понятно.

Padawan в сообщении #1168865 писал(а):

В точке $x_0$ производные считаются по переменным $x^i$, а в точке $L_a(x_0)$ - по переменным $y^i$, кроме того там $X^i=X^i(L_a(x_0))$.

А вот это я, действительно, пропустил. Спасибо! Пересчитаем...

Slav-27 в сообщении #1168862 писал(а):

Так про левоинвариантность забыли!

Левоинвариантностью велено пользоваться только на последнем шаге. И потом, Постников пишет, что формула верна в более общем случае - как и Padawan сказал.

[Slav-27]

Если честно, я уже немного запутался, чем мы занимаемся.

Если мы доказываем, что для левоинвариантных полей $L'_a[X,Y]=[X,Y]$, то проще делать как я сказал: взять Metford'ову формулу 3, "по частям" её и вспомнить про левоинвариантность.

Если мы доказываем, что для любых полей $L'_a[X,Y]=[L'_aX, L'_aY]$ (откуда предыдущее утверждение для левоинвариантных полей сразу следует), то надо делать, как предлагает Padawan.

[Metford]

Slav-27, мне хотелось бы восстановить доказательство формулы $L'_a[X,Y]=[L'_aX, L'_aY]$ для любых полей. И вроде бы оно начинает проясняться.