Ряды

[Cobert]

Верно ли, что если разложить функцию sin3x в ряд Маклорена, то получится:

$$\sin{3x} \sim 3x-\frac{(3x)^3}{3!}+\frac{(3x)^5}{5!}-...$$

А если функцию sin3x разложить в ряд Тейлора по степеням $\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$, то:

$$\sin{\left[3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right]} \sim 3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)^3}{3!}+\frac{\left(3\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right)^5}{5!}-...$$

?

Если нет, то как действовать в данной ситуации, чтобы сэкономить время?

[Профессор Снэйп]

Да, верно. Только непонятен значок $\sim$. Лучше писать равенство:

$$ \sin 3x = \sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i 3^{2i+1}}{(2i+1)!} x^{2i+1} = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \frac{(3x)^5}{5!} - \cdots $$

[RIP]

Вот только во втором случае надо разложить функцию $\sin3x$, а Вы (Cobert) разложили $\sin3(x-\pi/3)$. Для $\sin3x$ разложение будет другое.

[Cobert]

То есть вы имеете ввиду применить формулу приведения?

[Профессор Снэйп]

$$ \sin 3x = \sin \left( 3\left( x - \frac{\pi}{3}\right) + \pi \right) = - \sin 3 \left( x - \frac{\pi}{3} \right) $$

[Cobert]

Мммм... Теперь ясно... Не знаю, почему-то упустил данный момент, что раскладывать нужно именно так!

Добавлено спустя 1 час 21 минуту 16 секунд:

Товарищи, объясните, как подбираться вот к таким примерам:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{31n+18}{24n-37}\right)^\frac{3n^2+8}{2n+5}$$ $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt[3]{n}(n^2+5n-7)}$$

[Brukvalub]

Cobert писал(а):

Товарищи, объясните, как подбираться вот к таким примерам:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{31n+18}{24n-37}\right)^\frac{3n^2+8}{2n+5}$$

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+3}}{\sqrt[3]{n}(n^2+5n-7)}$$

Как можно куда-то подобраться, если не поставлена сама задача, а просто написаны какие-то закорючки?

[Cobert]

Brukvalub, намек понят

Требуется исследовать на сходимость знакопостоянные числовые ряды.

[Brukvalub]

В первом примере проверьте необходимый признак сходимости, а во втором - признак сравнения с эталонным рядом.

[Cobert]

Что-то не врубаюсь, как решить:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2n}}$$

Нужно найти интервал сходимости.

[Brukvalub]

Сначала применить необходимое условие сходимости, а потом прямо из Даламбера по нему и шарахнуть!

[ewert]

Никаких Даламберов нафик. Просто второй признак сравнения (с геометрической прогрессией)

[Cobert]

$$\left|\frac{1}{x^2}\right|<1$$

?

[ewert]

разумеется. Кстати, соотв., два интервала.

[Cobert]

Значит получается, что -1 > x > 1

Добавлено спустя 1 минуту 6 секунд:

Да все-то это уже понятно давно было. Просто вот метод решения мне очень сильно не нравится, вот и решил спросить...