Задача по комбинаторной геометрии

[Markiyan Hirnyk]

Уважаемые пользователи, я в ожидании содержательных и конструктивных ответов.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk
А что Вам не нравится в предложенном ( с учетом поправок) решении?

[Markiyan Hirnyk]

DeBill в сообщении #1167116 писал(а):

Markiyan Hirnyk
А что Вам не нравится в предложенном ( с учетом поправок) решении?

Вышеприведенные тексты не соответствуют стандартам, предъявляемым к математическим доказательствам.
Написав и опубликовав пару десятков математических статей (см. неполный перечень https://zbmath.org/authors/?s=0&q=hirnyk ), будучи рецензентом нескольких математических журналов и референтом для Mathematical Review и прооппонировав десяток диссертаций, полагаю, что имею представление об этом. Теперь конкретно.

DeBill в сообщении #1163943 писал(а):

grizzly в сообщении #1163678 писал(а):

"делит ... на не более чем ...". Контрпример -- два отрезка, лежащие на одной прямой.

Да, придется...

grizzly в сообщении #1163678 писал(а):

отрезок при продолжении попадает в вершину другого отрезка)

Ну и хрен с ним: один из них - продолжим дале.

grizzly в сообщении #1163678 писал(а):

с учётом кратности совпадающих вершин,

А вот это неприятно. Лучше - как выше, избечь их тупым продолжением одного.
Или так: можно заменить каждый отрезок чуть большим интервалом - с сохранением непересекаемости их, и гипотетическом препятствиением дружбе точек. Тогда полученная система будет устойчива к малым возмущениям. "Пошевелим" ее - и избавимся от всех нетипичных ситуевин.

grizzly в сообщении #1163960 писал(а):

DeBill в сообщении #1163943 писал(а):

Ну и хрен с ним: один из них - продолжим дале.

Их может несколько сходиться, результат картинки будет сколько-то зависеть от порядка в котором мы будем продолжать. Ну его. Следующее предложение выглядит намного лучше:

DeBill в сообщении #1163943 писал(а):

Или так: можно заменить каждый отрезок чуть большим интервалом - с сохранением непересекаемости их, и гипотетическом препятствиением дружбе точек. Тогда полученная система будет устойчива к малым возмущениям. "Пошевелим" ее - и избавимся от всех нетипичных ситуевин.

Да, это убеждает.

А что с переходом в $\mathbb R^3$? Там ведь всё аналогично, если резать недоплоскостями -- и тоже $n+1$? А рассуждение с формулой Эйлера там применимо? (я просто не соображу, к чему её применить).

-- 28.10.2016, 23:43 --

А, ну да, в любом случае не нужно там будить Эйлера; просто считать.

Во-первых, разбиение плоскости зависит от порядка продолжения отрезков. Во-вторых, мне неясно, как применяется формула Эйлера. Во-третьих, употребление неопределенного понятия "недоплоскости" вызывает по меньшей мере недоумение и не производит положительного впечатления о многом.

[DeBill]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1167231 писал(а):

Во-первых, разбиение плоскости зависит от порядка продолжения отрезков.

А кто спорит? Зато кол-во областей - не зависит.

Markiyan Hirnyk в сообщении #1167231 писал(а):

мне неясно, как применяется формула Эйлера

Да так и применяется: вершины минус ребра плюс грани равно два...

Markiyan Hirnyk в сообщении #1167231 писал(а):

Во-третьих, употребление неопределенного понятия "недоплоскости"

А это вообще из другой оперы: обсуждался трехмерный аналог задачи.

[Markiyan Hirnyk]

Извините, мне нечего обсуждать с Вами в таком стиле.

[DeBill]

(Оффтоп)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1167324 писал(а):

мне нечего обсуждать с Вами в таком стиле.

В "таком" - это когда на все Ваши три конкретных замечания даются аргументированные ответы, показывающие, что замечания эти - не по существу? Или Вам надо мой список работ? Можно...

[grizzly]

(Markiyan Hirnyk)

Markiyan Hirnyk в сообщении #1167231 писал(а):

Во-третьих, употребление неопределенного понятия "недоплоскости" вызывает по меньшей мере недоумение и не производит положительного впечатления о многом.

Ваше "во-третьих" тоже, знаете ли, не блещет

Как бы там ни было, и мне с Вами не по пути.

[Lia]

Markiyan Hirnyk

Markiyan Hirnyk в сообщении #1167231 писал(а):

Вышеприведенные тексты не соответствуют стандартам, предъявляемым к математическим доказательствам.

И не обязаны. Это форум, а не реферируемый журнал или монография. Если Вы хотите получать ответ на Ваш вопрос в соответствии со стандартами выверенных публикаций (а не существом вопроса), Вам стоит задуматься, к тому ли источнику Вы обратились в его поисках.

[Markiyan Hirnyk]

Имре Лакатос в книге "Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы" (см. http://nkozlov.ru/library/other/d1334/?resultpage=1#.WCgOB4yhpHw ), в частности, убедительно демонстрирует опасность поверхностных рассуждений.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1168505 писал(а):

Имре Лакатос ... убедительно демонстрирует опасность поверхностных рассуждений.

Поверхностность рассуждений сложно оценить путём поверхностного их (не)понимания и поверхностных уточняющих вопросов. Здесь можно было бы долго обсуждать сложности формализации геометрически-наглядных понятий (между, внутри и т.п.). Только начинать такие обсуждения лучше не с задачи, в постановке которой точки "видят друг друга". Или Вы нарочно хотели задать неформальный тон обсуждению, чтобы потом "сыграть на контрастах"?

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

которые "видят одна другую", т. е. соединяющий их отрезок не пересекает заданных отрезков и остальных точек

[arseniiv]

И что тут недоопределённого?

UPD. Я неправильно понял источник цитаты.

[grizzly]

arseniiv
Ну это мы играм в пинг-понг придирок. Здесь в другом вопрос. Можно ли засчитать предложенное решение (с учётом обсуждения)?

Моё мнение:
На любой олимпиаде это решение было бы засчитано (при соответствующем уровню олимпиады оформлению). А если пытаться копать очень глубоко, то да -- могут возникать вопросы, но вряд ли это были бы вопросы ТС.

[Markiyan Hirnyk]

См. эту тему на MathOverflow.

[ihq.pl]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1163370 писал(а):

В плоскости задано $n$ попарно непересекающихся замкнутых отрезков и $n+2$ различные точки вне этих отрезков ($n$ - натуральное число). Доказать, что среди заданных точек можно выбрать две точки, которые "видят одна другую", т. е. соединяющий их отрезок не пересекает заданных отрезков и остальных точек.

А можно мне узнать, где именно ошибка в моих рассуждениях? Мне задача показалась уж слишком простой, особенно в контексте того, что ею заинтересовался Концевич. Есть $n+2$ точки. Количество отрезков с концами в этих точках равно

$$N=\frac{(n+2)(n+1)}{2}.$$

Для любого $n \ge 1$

$$N > n.$$

Другими словами, всегда найдется пара точек, которые видят друг друга