two perpendicular lines

[ghenghea]

Точка $I$ - центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ , точка $H $ - его ортоцентр , точка $K $ - ортоцентр трегольника $BIC$ , точка $T $ - центр описанной окружность треугольника $BKC.$ Докажите,что $TH \perp AI$.

[Sergic Primazon]

ghenghea в сообщении #1167902 писал(а):

Точка $I$ - центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ , точка $H $ - его ортоцентр , точка $K $ - ортоцентр трегольника $BIC$ , точка $T $ - центр описанной окружность треугольника $BKC.$ Докажите,что $TH \perp AI$.

$\angle K = \dfrac{1}{2}( \pi- \angle A) $

$\angle BHC = \pi - \angle A \ ,\ \angle BTC= 2\angle K= \pi - \angle A $

$\Rightarrow $ четырехугольник $BHTC$ - вписан в окружность.

$\angle B_1HT = \angle BCT = \dfrac{\pi}{2}-\angle K = \dfrac{1}{2} \angle A = \angle IAC \Rightarrow AI \perp HT$

[Markiyan Hirnyk]

Задача решается средствами аналитической геометрии с применением математического пакета Мэйпл.
Не уменьшая общности, полагаем $A(0,0),\,B(1,0),\,C(xC,yC)$. Обозначения $xC$ вместо $x_C$ и т. п.
применяются по техническим причинам. Поскольку в Мэйпле $I$ обозначает мнимую единицу, то переопределяем ее.
Применяя мэйпловский пакет geometry (справка http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=geometry&term=geometry)
и команды solve (справка http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=solve&term=solve) для решения уравнений и систем уравнений и
DotProduct (справка http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=LinearAlgebra/DotProduct) для скалярного произведения,
мы составляем уравнения сторон и двух высот треугольника $ABC$.
Затем находим координаты точки $H$. Потом подобным образом вычисляем координаты точек $K,\,I$ и $T$. Наконец, находим
скалярное произведение $AI$ и $HT$, которое после упрощения равно нулю. См. подробности в рабочем листе Мэйпла,
экспортированном как PDF файл https://www.dropbox.com/s/80jo5ydqutisit1/geometry.pdf?dl=0. Кстати, условие остроугольности представляется излишним. В приведенных вычислениях для конкретного тупоугольного треугольника с $C(1/2,1/8)$ нет никаких особенностей.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1168462 писал(а):

Задача решается средствами аналитической геометрии с применением математического пакета Мэйпл.

А Ваш Мэйпл способен заметить, что в случае $AB=AC$ точки $T$ и $H$ совпадают? Как он в этом случае понимает перпендикулярность? Я понимаю, что это же замечание относится и к красивому решению от Sergic Primazon, но с Мэйпл ситуация в принципе другая. Если Мэйпл не сообщает Вам о вырожденных случаях, значит качественную картину Вы должны отслеживать самостоятельно и приводить не только бумажку с машинным кодом, но и убедительные рассуждения.

[Markiyan Hirnyk]

grizzly в сообщении #1168479 писал(а):

А Ваш Мэйпл способен заметить, что в случае $AB=AC$ точки $T$ и $H$ совпадают?

Да.

grizzly в сообщении #1168479 писал(а):

Как он в этом случае понимает перпендикулярность?

Согласно Вики

Цитата:

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.

Lia: Оформляйте ссылки.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk
Сформулируйте, пожалуйста, словами, как Вы поняли вопрос обсуждаемой геометрической задачи:

ghenghea в сообщении #1167902 писал(а):

Докажите,что $TH \perp AI$.

И, если не сложно, дайте ссылку на какой-нибудь учебник по геометрии, в котором было бы отражено Ваше с Мэйплом понимание перпендикулярности прямых.

[Markiyan Hirnyk]

В моем ответе показывается перпендикулярность векторов. Перпендикулярность прямых в плоскости - это другое понятие. Формулировка обсуждаемой задачи в этом месте не точна.

[grizzly]

Markiyan Hirnyk в сообщении #1168521 писал(а):

Формулировка обсуждаемой задачи в этом месте не точна.

Вы в этом правы -- формулировка каждой задачи должна начинаться со строгой аксиоматики и введения / расшифровки всех необходимых определений и обозначений. Иначе как использовать Мэйпл?

Markiyan Hirnyk в сообщении #1168521 писал(а):

В моем ответе ...

Разве это Ваше решение, а не Мэйпл? Я уверен, что если бы Вы решали задачу, Вы бы сперва уточнили у ТС правильное понимание неточной формулировки.