Найти все аналитические функции

[Rich]

Надо найти все аналитические функции, такие что $Imf(z)=\varphi (x^2+y^2)$, где $\varphi$ действительная функция. Проблему вызывает факт, что $\varphi$ не явно задан.

[Brukvalub]

Не пробовали искать ответ, в котором используется символ $\varphi (...)$?

[iifat]

Ну, для начала, может, стоит записать условия аналитичности и подставить туда имеющуюся информацию?

[Padawan]

Попробуйте записать условия Коши-Римана в полярных координатах.

Еще вариант - мнимая и действительная часть аналитической функции являются гармоническими.

[Rich]

Условия КР либо условия гармоничности можно записать, а смысл такой задачи (вида функции $\varphi$ )? Должно ли что-то хорошее получиться за счет того, что в аргументе $\varphi$ стоит $|z|^2$

[Brukvalub]

Rich в сообщении #1168357 писал(а):

Должно ли что-то хорошее получиться за счет того, что в аргументе $\varphi$ стоит $|z|^2$

Готовитесь стать медиумом? Вы не гадайте, а приступайте к решению. Инструкции даны выше.

[Rich]

Попробовал через полярные координаты, $r$ зависит от $\theta$? Если нет, то возникнут проблемы(например получим $u=0$, что не согласуется с условиями КР.

[Brukvalub]

Напишите свои рассуждения а не рассуждения о рассуждениях и не телеграфные отчеты. Они никому не нужны.

[Rich]

$f=u+iv, v = \varphi(r^2), \frac{\partial u}{\partial r}=0,\frac{\partial v}{\partial r}=\varphi'(r^2).2r= -\frac{1}{r^2}\frac{\partial u}{\partial \theta} $ , отсюда получаю $u=0$, что неверно.

[Brukvalub]

Rich в сообщении #1168400 писал(а):

отсюда получаю $u=0$

Как получаете? Напишите подробнее!

[Rich]

$\frac{\partial u}{\partial \theta}=-\varphi'(r^2).2r^3$, $u=-\varphi'(r^2).2r^3\theta+g(r)$, далее из $\frac{\partial u}{\partial r}=0$ переходя к интегралу получаю $g(r) =2r^3\varphi'(r^2)\theta $.

-- 12.11.2016, 19:31 --

Использовал гармоничность $v$, получил $v= Ce^{2r}+C_1$? сейчас все должно получится.

[warlock66613]

($\TeX$ническое)

Умножение пишется так: \cdot. Например: $\varphi(r) \cdot 2r$

-- 13.11.2016, 13:44 --

Rich в сообщении #1168403 писал(а):

получаю $g(r) =2r^3\varphi'(r^2)\theta $

Ничего, что слева функция только от $r$, а справа присутствует ещё и $\theta$?

[Rich]

В том то и дело, походу применения того способа(условия КР в полярных) сразу ничего полезного не даст(хотя это очень странно). Надо использовать именно гармоничность.

[warlock66613]

Rich в сообщении #1168561 писал(а):

В том то и дело, походу применения того способа(условия КР в полярных) сразу ничего полезного не даст

Независимо от верности этого, появление $\theta$ там, где её никак не может появиться, — явная ошибка.

[Padawan]

Rich в сообщении #1168403 писал(а):

Использовал гармоничность $v$, получил $v= Ce^{2r}+C_1$? сейчас все должно получится.

Очень странно. Это не гармоническая функция. Уравнение Лапласа в полярных координатах можете записать?

Rich в сообщении #1168561 писал(а):

В том то и дело, походу применения того способа(условия КР в полярных) сразу ничего полезного не даст(хотя это очень странно).

Запишите условия КР на функции $u$ и $v$ в полярных координатах (общем случае).