Интересные числа

[matematika314]

$\[s\]$ - число, такое, что найдутся числа $\[(a,b,c,d \in \mathbb{Z} ,\geqslant 0)(a \ne c,b \ne d)\]$ такие, что:
$s = {2^a} + {3^b} = {2^c} + {3^d}$
Верно ли, что $\[s\]$ может принимать бесконечно много различных натуральных значений?
Случаи $\[a = 0\] $ или $\[b = 0\]$ тривиальны.
Если $\[a \ne 0 \wedge b \ne 0\]$:
$\[{2^a} - {2^c} = {3^d} - {3^b}\]$
$\[{2^c}({2^{a - c}} - 1) = {3^b}({3^{d - b}} - 1)\]$
$\[({2^{a - c}} - 1) \vdots 3 \Rightarrow (a - c) \vdots 2\]$
$\[({3^{b - d}} - 1) \vdots 4 \Rightarrow (b - d) \vdots 2\]$
Тогда в обеих частях разность квадратов, но она меня ни к чему не привела.

[gris]

Можно вообще посмотреть на числа вида $2^n+3^m$. Посчитав несколько штук, можно увидеть совпадения:
$5=2^1+3^1=2^2+3^0;$
$11=2^3+3^1=2^2+3^2;$
$17=2^3+3^2=2^4+3^0;$
$35=2^3+3^3=2^5+3^1; $, то есть такие числа есть.
Даже $259=2^8+3^1=2^4+3^5;$ ещё доступно для эксельки. А запустив скрипт мы ничего в обозримом диапазоне не найдём. Лезть в OEIS, конечно, нечестно, но придётся. Похоже, что это открытая проблема и решить её с наскока не получится

[Dmitriy40]

А есть вообще другие решения кроме
$5=2^2+3^0=2^1+3^1$
$11=2^3+3^1=2^1+3^2$
$17=2^4+3^0=2^3+3^2$
$35=2^5+3^1=2^3+3^3$
$259=2^8+3^1=2^4+3^5$


-- 11.11.2016, 23:24 --

В пределах $a \le 1000, d \le 600, b < d, c < a$ других решений не найдено.

-- 11.11.2016, 23:28 --

matematika314:

gris в сообщении #1168189 писал(а):

Лезть в OEIS, конечно, нечестно, но придётся. Похоже, что это открытая проблема и решить её с наскока не получится

Да уж: A085634.

[sa233091]

Очень много мыслей и никакой пользы

-- 12.11.2016, 00:03 --

$\[{2^a}({2^b} - 1) = {3^c}({3^d} - 1)\]$ т.к. $\[{2^a}|({3^d} - 1)\]$, то при $\[a \geqslant 4\]$: $\[d = {2^{a}}k\]$

-- 12.11.2016, 00:10 --

т.к. $\[{3^c}|{2^b} - 1\]$, то при $\[c \geqslant 2\]$: $\[b = 2t{3^{c - 1}}\]$

-- 12.11.2016, 00:10 --

Противоречий с делимостью так же не увидел.

[DeBill]

(Оффтоп)

sa233091
Шесть дней осталось до конца олимпиады, да?
И matematika314 решила Вам помочь, подняв снова (заблокированную до 17 ноября) Вашу тему?
А-я-яй

[Lia]

sa233091
Блокировка за создание клона с целью повторного размещения задачи с действующей олимпиады topic112590.html, сроком на одну неделю. Аккаунт matematika314 блокируется бессрочно.

-- 12.11.2016, 03:20 --

Тема закрыта.