Сумма степени двойки и степени тройки

[sa233091]

Сколько существует натуральных чисел, представимых в виде суммы неотрицательной целой степени двойки и неотрицательной целой степени тройки двумя различными способами?

[svv]

OEIS писал(а):

Conjecture: only (небольшой списочек) can be expressed in two different ways. ... Sep 19 2012

[DeBill]

sa233091
То ли я что-то не вижу?
Задача сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$
Первое: по модулю 3, дает четность $c$, и далее - разность квадратов.
Второе: по модулю 4 дает четность $z$, и далее - разность квадратов...

[svv]

DeBill
Вот 5 известных решений (A085634):
$2^1+3^1 = 2^2+3^0 = 5$
$2^1+3^2 = 2^3+3^1 = 11$
$2^3+3^2 = 2^4+3^0 = 17$
$2^3+3^3 = 2^5+3^1 = 35$
$2^4+3^5 = 2^8+3^1 = 259$
(Несуществование шестого под вопросом. На компьютере проверено до больших чисел и не найдено.)
Из них только последнее не подходит под Ваш шаблон, но всё же является контрпримером:
$2^4(2^4-1)=240=3^1(3^4-1)$,
но $2^4-1\neq 3^1, \; 3^4-1\neq 2^4$.

[sa233091]

DeBill в сообщении #1163656 писал(а):

sa233091
То ли я что-то не вижу?
Задача сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$
Первое: по модулю 3, дает четность $c$, и далее - разность квадратов.
Второе: по модулю 4 дает четность $z$, и далее - разность квадратов...

Можете написать решение с разностью квадратов поподробнее.

[DeBill]

svv
Ага, спасибо, и правда - не вижу.

DeBill в сообщении #1163656 писал(а):

сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$

Сводится - да. Но "или" отсюда не следует: у скобок мог быть общий множитель, и что с ним делать - совсем непонятно.
sa233091
Если в ур-ии $2^c - 3^y = 1$ , $c=2k$, то
$3^y = (2^k - 1)(2^k +1) $. Тогда обе скобки - степени тройки. Но их разность равна 2....

[sa233091]

А как решить в общем виде

[grizzly]

sa233091 в сообщении #1163747 писал(а):

А как решить в общем виде

(Если это был вопрос.) Обычно алгоритм зависит от уровня профессионализма. Я выскажу свою точку зрения, как следует поступать студенту, для примера.
Если несколько человек, профессионально связанных с математикой, посмотрели и не смогли решить (при этом кто-то со степенью Ph.D. взял на себя смелость сообщить об этом вслух, как в данном случае на странице энциклопедии), тогда следует предпринять несколько непродолжительных попыток к решению и бросить. Вместо этого надолго заняться систематическим изучением прилегающей мат.части (теории).

[svv]

точно.

sa233091
В чём, по-Вашему, был смысл моего первого сообщения в этой теме? Слово «конъектура» я ещё и подчеркнул, а Вы всё равно не заметили, либо не поняли...

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

[sa233091]

Вы извините я не совсем понял последние сообщения. Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.

-- 28.10.2016, 18:59 --

grizzly в сообщении #1163751 писал(а):

sa233091 в сообщении #1163747 писал(а):

А как решить в общем виде

(Если это был вопрос.) Обычно алгоритм зависит от уровня профессионализма. Я выскажу свою точку зрения, как следует поступать студенту, для примера.
Если несколько человек, профессионально связанных с математикой, посмотрели и не смогли решить (при этом кто-то со степенью Ph.D. взял на себя смелость сообщить об этом вслух, как в данном случае на странице энциклопедии), тогда следует предпринять несколько непродолжительных попыток к решению и бросить. Вместо этого надолго заняться систематическим изучением прилегающей мат.части (теории).

А где взять теорию по этой теме?

[grizzly]

sa233091 в сообщении #1163840 писал(а):

Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.

А из какого источника Вы узнали условие этой задачи?

[sa233091]

grizzly в сообщении #1163914 писал(а):

sa233091 в сообщении #1163840 писал(а):

Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.

А из какого источника Вы узнали условие этой задачи?

Формула единства 11 кл. 2016-17

-- 28.10.2016, 22:41 --

http://www.formulo.org/wp-content/uploa ... ussian.pdf

[Lia]

В таком случае, тема закрыта до 18 ноября 2016 года.
sa233091, спасибо за информацию. Тем не менее,
Вам предупреждение за размещение задачи с действующей олимпиады.