2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 00:01 


11/08/16
193
Сколько существует натуральных чисел, представимых в виде суммы неотрицательной целой степени двойки и неотрицательной целой степени тройки двумя различными способами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 00:25 
Заслуженный участник


23/07/08
10609
Crna Gora
OEIS писал(а):
Conjecture: only (небольшой списочек) can be expressed in two different ways. ... Sep 19 2012

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 00:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
sa233091
То ли я что-то не вижу?
Задача сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$
Первое: по модулю 3, дает четность $c$, и далее - разность квадратов.
Второе: по модулю 4 дает четность $z$, и далее - разность квадратов...

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 02:18 
Заслуженный участник


23/07/08
10609
Crna Gora
DeBill
Вот 5 известных решений (A085634):
$2^1+3^1 = 2^2+3^0 = 5$
$2^1+3^2 = 2^3+3^1 = 11$
$2^3+3^2 = 2^4+3^0 = 17$
$2^3+3^3 = 2^5+3^1 = 35$
$2^4+3^5 = 2^8+3^1 = 259$
(Несуществование шестого под вопросом. На компьютере проверено до больших чисел и не найдено.)
Из них только последнее не подходит под Ваш шаблон, но всё же является контрпримером:
$2^4(2^4-1)=240=3^1(3^4-1)$,
но $2^4-1\neq 3^1, \; 3^4-1\neq 2^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 09:40 


11/08/16
193
DeBill в сообщении #1163656 писал(а):
sa233091
То ли я что-то не вижу?
Задача сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$
Первое: по модулю 3, дает четность $c$, и далее - разность квадратов.
Второе: по модулю 4 дает четность $z$, и далее - разность квадратов...

Можете написать решение с разностью квадратов поподробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 11:53 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
svv
Ага, спасибо, и правда - не вижу.
DeBill в сообщении #1163656 писал(а):
сводится к $2^a - 2^b = 3^x - 3^y$
Или: $2^c - 3^y = 1, 3^z - 2^b = 1$

Сводится - да. Но "или" отсюда не следует: у скобок мог быть общий множитель, и что с ним делать - совсем непонятно.
sa233091
Если в ур-ии $2^c - 3^y = 1$ , $c=2k$, то
$3^y = (2^k - 1)(2^k +1) $. Тогда обе скобки - степени тройки. Но их разность равна 2....

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 13:27 


11/08/16
193
А как решить в общем виде

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
sa233091 в сообщении #1163747 писал(а):
А как решить в общем виде
(Если это был вопрос.) Обычно алгоритм зависит от уровня профессионализма. Я выскажу свою точку зрения, как следует поступать студенту, для примера.
Если несколько человек, профессионально связанных с математикой, посмотрели и не смогли решить (при этом кто-то со степенью Ph.D. взял на себя смелость сообщить об этом вслух, как в данном случае на странице энциклопедии), тогда следует предпринять несколько непродолжительных попыток к решению и бросить. Вместо этого надолго заняться систематическим изучением прилегающей мат.части (теории).

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиадная задача
Сообщение28.10.2016, 14:31 
Заслуженный участник


23/07/08
10609
Crna Gora
:-) точно.

sa233091
В чём, по-Вашему, был смысл моего первого сообщения в этой теме? Слово «конъектура» я ещё и подчеркнул, а Вы всё равно не заметили, либо не поняли...

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.10.2016, 15:32 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.10.2016, 17:40 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Олимпиадные задачи (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 18:34 


11/08/16
193
Вы извините я не совсем понял последние сообщения. Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.

-- 28.10.2016, 18:59 --

grizzly в сообщении #1163751 писал(а):
sa233091 в сообщении #1163747 писал(а):
А как решить в общем виде
(Если это был вопрос.) Обычно алгоритм зависит от уровня профессионализма. Я выскажу свою точку зрения, как следует поступать студенту, для примера.
Если несколько человек, профессионально связанных с математикой, посмотрели и не смогли решить (при этом кто-то со степенью Ph.D. взял на себя смелость сообщить об этом вслух, как в данном случае на странице энциклопедии), тогда следует предпринять несколько непродолжительных попыток к решению и бросить. Вместо этого надолго заняться систематическим изучением прилегающей мат.части (теории).

А где взять теорию по этой теме?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
sa233091 в сообщении #1163840 писал(а):
Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.
А из какого источника Вы узнали условие этой задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 22:40 


11/08/16
193
grizzly в сообщении #1163914 писал(а):
sa233091 в сообщении #1163840 писал(а):
Я просто попросил помощь в решении олимпиадой задачи 11 кл.
А из какого источника Вы узнали условие этой задачи?

Формула единства 11 кл. 2016-17

-- 28.10.2016, 22:41 --

http://www.formulo.org/wp-content/uploa ... ussian.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма степени двойки и степени тройки
Сообщение28.10.2016, 23:02 


20/03/14
12041
 !  В таком случае, тема закрыта до 18 ноября 2016 года.
sa233091, спасибо за информацию. Тем не менее,
Вам предупреждение за размещение задачи с действующей олимпиады.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group