Я, наверно, встал не с той ноги (с)[разбиение на окружности]

[Утундрий]

http://elementy.ru/problems/1431/Povelitel_okruzhnostey

Может кто-то объяснить о чём речь вообще?! Идеально - с картинками.

[Lia]

$$M=\{0<x^2+y^2<1\}=\cup\limits_{r\in(0,1)}\{x^2+y^2=r^2\}$$

Картинка не могу, окружности больно тонкие. Концентрические с центром в центре круга, в данном случае.

А вот если выбрасывать не центр, получится ли?

[Brukvalub]

Lia в сообщении #1167642 писал(а):

А вот если выбрасывать не центр, получится ли?

Конформный автоморфизм круга переводит любую заданную точку круга в центр и окружности переводит в окружности...

[DeBill]

Утундрий
Со сферой без двух точек - понятно. А вот все пространство ...
Я умею - конструктивно (и нам уже подсказали, что делать). Но вот читал когда то (в Мат. просвещении?) - построение по индукции... Это - ДА!

[Soul Friend]

вообразил, напоминает дифракцию(интерференция волн)

[kp9r4d]

DeBill
Мат. просвещение не читал, а там разве не просто? Упорядочим все точки пространства (кроме двух вырезанных) ординалом $\omega_1$. Будем пытаться всегда провести окружность через наименьшую точку, через которую она ещё не проведена. Пусть мы уже провели столько окружностей, что все точки $<\alpha$ уже принадлежат каким-то окружностям, а точка $\alpha$ - ещё нет, на этом этапе мы поставили только счётное число окружностей (так как, в предположении континуум-гипотезы, любой ординал $<\omega_1$ счётен а так как мы всегда стремимся провести окружность через наименьшую точку, то окружностей не может быть больше, чем $\alpha$). Проведём плоскость, которая удовлеторяет следующим условиям
а) в ней лежит точка $\alpha$
б) не лежит целиком ни одна уже поставленная окружность
в) не лежат две вырезанные точки (что естественно)
такая плоскость существует, так как окружностей счётное число, а "кандидатов" на эту плоскость континуум. Каждая окружность пересекает нашу плоскость не более чем в двух точках. Теперь мы свели всё к следующей планиметрической задаче: дана плоскость из которой вырезано счётное число точек, и отмечена точка $\alpha$ доказать, что через неё (через эту точку $\alpha$) можно провести хотя бы одну окружность, целиком лежащую в этой плоскости. Ну и опять тот же приём: кандидатов на такую окружность континуум а вырезанных точек счётное число, значит такая окружность существует; что завершает шаг трансфинитной индукции до $\omega_1$.

-- 10.11.2016, 04:50 --

Ну и да, со сферой проще всего работать со сферой Римана, одну точку поставив в $\infty$ а любую другую вырезав из $\mathbb{C}$. После чего задача сведётся к замощению $\mathbb{C}$ без одной точки окружностями, а это просто ведь.

[Padawan]

Обсуждалось давно. "Шашлых Хорхе" в теме Замощение пространства окружностями

[Sicker]

Да это же очевидно, рассмотрим самую большую окружность, и будем ее сжимать и смещать так, чтобы отношение отрезков хорд, проходящих через нашу точку, было постоянным.

[DeBill]

kp9r4d
Ага. И вроде бы, короче того, что я видел (и того, что я сам делал)!