доказательство делимости

tata00tata · 17/10/16 50

Много решаю, и много вопросов возникает, вот сегодня целый день думала, не дошла до конца. Помогите.
Докажите, что выражение $A=2903^n-803^n-464^n+261^n, n\in{N}$ делится на $1897$
Я пробовала и через индукцию
$n=1$ верно
$n=k: 2903^k-803^k-464^k+261^k=1897m$
$$n=k+1: 2903^k\cdot2903-803^k\cdot803-464^k\cdot464+261^k\cdot261=2903(2903^k-803^k-464^k+261^k)+2100\cdot803^k+2439\cdot464^k-2642\cdot261^k$=2903\cdot1897m+2100\cdot803^k+2439\cdot464^k-2642\cdot261^k$
но больше ни к чему не пришла, если вынести за скобку не $2903$ ничего не меняется.
и по теореме Безу пробовала раскладывать $a^n-b^n=(a-b)(...)$ и по разному группировала, например $(2903^n-1006^n)+1006^n+(2700^n-803^n)-2700^n+(2361^n-464^n)-2361^n+261^n$
это ничего не дает
и по биному ньютона пробовала
$(1897+1006)^n-(1897-1094)^n-(1897-1433)^n+(1897-1636)^n=...+1006^n\pm1094^n\pm1433^n\mp1636^n$
три точки заменяют слагаемые кратные $1897$ но и это ни к чему не привело...

gris · 13/08/08 14496

Группировка хорошая идея. Особенно, если она не одна :-)

А что это за число — $1897$ ?
Не слишком ли оно просто для этой задачи?

Brukvalub · 01/03/06 13626 Москва

(Оффтоп)

gris в сообщении #1167367 писал(а):

А что это за число — $1897$ ?

Ну, уж это-то знают даже дети: в 1897 г. немецкий изобретатель Рудольф Дизель построил двигатель внутреннего сгорания с воспламенением от сжатия!

gris · 13/08/08 14496

Ну да, ещё Ленина услали жениться и заговорили о компьютерах. Но не хочется упрощать.

Я боюсь, что ТС думает, что я в обидную шутку всё это :oops:

. Отнюдь! Не имею даже такой привычки в этом разделе. Просто культивируя в себе дисциплинированность, боюсь подсказывать явно. Но уж куда явнее :-)

tata00tata · 17/10/16 50

$1897=271\cdot7$ , не поняла подсказок, что значит слишком просто для этой задачи, Вы на отрицательное $1897$ что-ли намекали? Группировку другую не вижу((в скобках то все равно разность должна давать $1897$ или вообще не по этой формуле раскладывать $a^n-b^n=(a-b)(...)$

gris · 13/08/08 14496

Совершенно верно. Я имел в виду, что число не простое, а имеет два взаимно простых делителя. Вы, если надо проверить делимость числа "сто единиц сто двоек" на $66$ , не будете же делить его на $66$ , а по признакам делимости проверите отдельно на $2,3,11$ . Так и тут. Вы на верном пути: Разность энных степеней делится на разность. Но в скобках не обязательно получать $1897$ . Есть и вторая группировка.

tata00tata · 17/10/16 50

С Вашим примером понятно, но разность в скобках должна быть кратна $271$ и $7$ одновременно, первое такое число $1897$ , а следующее $3794$ , а следующее ещё больше, ну я не знаю, одна из скобок может быть, например, $4597^n-803^n$ , но это тоже ничего не даст

gris · 13/08/08 14496

Что значит одновременно? Вы имеете в виду, что выражение должно делиться и на $7$ , и на $271$ . Почему мне с помощью одного разложения не показать, что я могу выделить в качестве сомножителя $7$ , а другим разложением выделить $271$ . Они взаимно просты и друг другу не мешают.

wrest · 05/09/16 12174

tata00tata в сообщении #1167472 писал(а):

С Вашим примером понятно, но разность в скобках должна быть кратна $271$ и $7$ одновременно,

Смотрите: в сумме $9+6=15$ оба слагаемых делятся только на $3$ , а в сумме $10+5=15$ оба слагаемых делятся только на $5$ , однако сумма делится как на $3$ , так и на $5$ .