Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?

[NL0]

Задача: Найти расстояние между $AB$ и $D_1C_1$ в единичном кубе.

Расстояние между скрещивающимися прямыми -- длина общего перпендикуляра к двум прямым. Здесь ясно, что $BC_1$ - общий перпендикуляр, потому как $AB\perp BCC_1$, а значит и $BC_1$. Аналогично с $D_1C_1$. Тогда расстояние между прямыми будет $\sqrt{2}$.

С другой стороны, мы можем провести через прямую $AB$ плоскость, параллельную $D_1C_1$. Очевидно, что это плоскость $ABC$. Тогда расстоянием между прямыми будет расстояние от любой точки прямой $D_1C_1$ до плоскости $ABC$. А это расстояние будет равно $1$.

А в итоге должно быть $\sqrt{2}$ или $1$. И почему. Не мог найти дырку в своих рассуждениях.

[Otta]

NL0 в сообщении #1167147 писал(а):

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Они не скрещивающиеся.

[Pphantom]

NL0 в сообщении #1167147 писал(а):

Расстояние между скрещивающимися прямыми

А где тут скрещивающиеся прямые?

NL0 в сообщении #1167147 писал(а):

С другой стороны, мы можем провести через прямую $AB$ плоскость, параллельную $D_1C_1$. Очевидно, что это плоскость $ABC$.

Ой ли? Вернее, конечно, эта плоскость будет параллельной, но одна ли она такая?

[Someone]

NL0 в сообщении #1167147 писал(а):

Не мог найти дырку в своих рассуждениях.

Определений не знаете.

[Munin]

NL0 в сообщении #1167147 писал(а):

Тогда расстоянием между прямыми будет расстояние от любой точки прямой $D_1C_1$ до плоскости $ABC$.

А с чего бы это вдруг?

Ваша кепка находится на расстоянии 1 метр 80 сантиметров над дорогой. В двух километрах от вас по дороге ползёт червяк. Разве можно сказать, что расстояние от кепки до червяка 1 метр 80 сантиметров, только потому, что через червяка проходит плоскость дороги?

[yurec]

Первый вариант верен, т.к. действительно $BC_1$ - расстояние между прямыми $AB$ и $D_1C_1$.
Что касается плоскости $ABC$ - она действительно параллельна прямой $D_1C_1$, но через прямую $AB$ можно провести бесконечное количество плоскостей параллельных прямой $D_1C_1$. $ABC$ - не единственная плоскость параллельная $D_1C_1$. Поэтому ответ однозначный: расстояние между $AB$ и $D_1C_1$ - прямая $BC_1$, равная $\sqrt{2}$.

[Dmitriy40]

Можно провести плоскость через все четыре точки $ABC_1D_1$ и перевести задачу в планиметрию, где станет очевидной правильность первого ответа.

[gris]

По-моему, здесь единственный (с точностью до симметрий) интересный вариант это: Найти расстояние между $AB$ и $A_1C$.

[Dmitriy40]

Или расстояние от точки $D_1$ до прямой $AC$. Или даже до прямой $AC_1$.